Contenido
- 1 Demostrar que esta función tiene un único extremo en $[3,4]$
- 2 ¿Se puede calcular por el método de bisección partiendo de dicho intervalo?
- 3 Aproximar el extremo haciendo cuatro iteraciones.
- 4 Dar una cota del error cometido al calcular esta raíz.
- 5 ¿Cuántas iteraciones $n$ tendríamos que hacer para garantizar que el error es menor que $10^{-8}$?
Sea la función
$$h(x)=\left(x^{3}-x\right)e^{-x}$$- Demostrar que esta función tiene un único extremo en [3,4]
- ¿Se puede calcular por el método de bisección partiendo de dicho intervalo?
- Aproximar el extremo haciendo cuatro iteraciones.
- Dar una cota del error cometido al calcular esta raíz.
- ¿Cuántas iteraciones 𝑛 tendríamos que hacer para garantizar que el error es menor que $10^{−8}$?
Demostrar que esta función tiene un único extremo en $[3,4]$¶
Si buscamos los extremos de $h$, como la condición necesaria de extremos para una función derivable es que $h'(x)=0$, estamos buscando las raíces de $h'$.
Como el exponencial es siempre positivo y distinto de cero, si queremos las raíces de $h'$ tenemos que buscar las raíces de
$$f(x)=-x^3 + 3x^2 + x - 1$$
Vemos que se cumplen las tres condiciones suficientes para que exista una única raíz en el intervalo:
- $f$ es contínua.
- $f$ tiene distinto signo en los extremos.
- $f$ es estrictamente creciente (o decreciente) en este intervalo.
Demostrémoslo también analíticamente:
- $f$ es un polinomio y, por lo tanto, es continua.
- $f(3)=2$ y $f(4)=-13$
- $f$ es estrictamente decreciente en $[3,4]$ porque $f'<0$ en $(3,4)$, ya que si factorizamos
Para ello calculamos las raíces de $ax^2+bx+c=0$ que son
$$x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$Como $a=-3$, $b=6$ y $c=1$
$$x_{1,2} = \frac{-6\pm \sqrt{6^2-4(-3)}}{2(-3)}\quad x_1= -0.15 \quad x_2 = 2.15$$Por lo tanto
$$f'(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=-3(x+0.15)(x-2.2)$$y como el primer factor, $-3$, es negativo, y el segundo, $(x+0.15)$ y el tercero, $(x-2.2)$ positivos en $(3,4)$
$$f'(x)=-3(x+0.15)(x-2.2)= (-)(+)(+)\lt 0 \quad \mathrm{en} \quad (3,4)$$
¿Se puede calcular por el método de bisección partiendo de dicho intervalo?¶
Las condiciones para aplicar el método de Bisección son las condiciones de Bolzano, es decir, las condiciones 1 y 2 del apartado anterior.
Como demostramos, se cumplen estas dos condiciones y por lo tanto, podemos aplicar el método de Bisección.
Aproximar el extremo haciendo cuatro iteraciones.¶
Hacemos las iteraciones teniendo en cuenta que dados $a$ y $b$
$$m = \frac{a+b}{2}$$y que la cota de error viene dada por
$$c = b-a$$pero de la iteración siguiente.
Iteración 1
El intervalo es $[3,4]$ y su punto medio es
$$m = \frac{a+b}{2}=\frac{3+4}{2}=3.5$$Como $f(3)=2$, $f(3.5)=-3.63$ tienen signo distinto el siguiente intervalo es $[3,3.5]$ y la cota de error es la longitud de este nuevo intervalo, 0.5.
Iteración 2
El intervalo es $[3,3.5]$ y su punto medio es
$$m = \frac{a+b}{2}=\frac{3+3.5}{2}=3.25$$Como $f(3)=2$, $f(3.25)=-0.39$ tienen signo distinto el siguiente intervalo es $[3,3.25]$ y la cota de error es la longitud de este nuevo intervalo, 0.25.
Iteración 3
El intervalo es $[3,3.25]$ y su punto medio es
$$m = \frac{a+b}{2}=\frac{3+3.25}{2}=3.125$$Como $f(3.125)=0.9$, $f(3.25)=-0.39$ tienen signo distinto el siguiente intervalo es $[3.125,3.25]$ y la cota de error es la longitud de este nuevo intervalo, 0.125.
Iteración 4
El intervalo es $[3.125,3.25]$ y su punto medio es
$$m = \frac{a+b}{2}=\frac{3.125+3.25}{2}=3.1875$$y la cota de error es la mitad de la longitud del intervalo anterior, es decir, 0.0625.
Dar una cota del error cometido al calcular esta raíz.¶
Ya calculamos la cota de error conforme calculábamos las iteraciones, pero, teniendo en cuenta que el número de iteraciones es $k=4$, también podíamos haber usado la fórmula
$$c_k=\frac{b_0-a_0}{2^k}=\frac{4-3}{2^4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16} = 0.0625$$Comprobemos que el error es menor que la cota de error. Como la solución exacta es $\alpha= 3.2143$, el error absoluto es
$$e_4 = |x_4-\alpha|=|3.1875-3.2143|=0.0268$$que es menor que la cota de error, como era de esperar.
¿Cuántas iteraciones $n$ tendríamos que hacer para garantizar que el error es menor que $10^{-8}$?¶
Buscamos que
$$ e_{a}=\left|\alpha-x_{n}\right|\lt 10^{-8}. $$Como se verifica que el error (desconocido) es menor que la cota de error (conocida)
$$ e_{a}=\left|\alpha-x_n\right|\lt\dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^n}. $$una condición suficiente para que el error sea menor que $10^{-8}$ es que la cota de error sea menor que $10^{-8}$
$$ \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^n}\lt 10^{-8}. $$Trabajaremos con esta desigualdad y aplicaremos las siguientes propiedades
- Si $a\lt b$ y $c\gt 0$ $\Longrightarrow a\,c\lt b\,c$
- Si $f$ es una función estrictamente creciente se tiene que si $x\lt y\Longrightarrow f(x)\lt f(y)$
- $\log A^B = B \log A$
Teniendo en cuenta la propiedad 1 y multiplicando ambos miembros de la desigualdad primero por $2^n$ y luego $10^8$ tenemos que
$$ \frac{4-3}{2^{n}} \lt 10^{-8} \Longleftrightarrow 1 \lt 2^n 10^{-8} \Longleftrightarrow 10^8\lt 2^{n} $$Como $f(x)=\log(x)$ es una función estrictamente creciente, aplicando la propiedad 2 se tiene que
$$ \log\left( 10^8\right)\lt\log\left(2^{n}\right) $$y teniendo en cuenta la propiedad 3
$$ \log\left(10^8\right)\lt n\log2. $$Como $\log2 \gt 0$, aplicando la propiedad 1 con $c=1/\log2$
$$ \frac{\log\left(10^8\right)}{\log2}\lt n $$$\log$ representa aquí un logaritmo en cualquier base mayor que 1. Usaremos, por ejemplo, logaritmos neperianos
$$26.6\lt n$$Y si hacemos $n=27$ iteraciones, podemos garantizar que el error es menor que $10^{-8}.$