Contenido

• 1  Método de Newton-Raphson
• 2  Ejercicio

Método de Newton-Raphson

El método de Newton se puede explicar como un método iterativo donde

• La curva se sustituye por su recta tangente en un punto.
• Se aproxima la raíz de la curva con la raíz de la recta.
• Tomamos la raíz de la recta tangente en este punto como aproximación de la raíz.
• Repetimos hasta que se cumpla una condición de parada.

Once Loop Reflect

La ecuación de la recta tangente a la curva $f$ en el punto $x_0$ viene dada por

$$y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

La raíz de esta recta es $x_1$ y la obtenemos haciendo $y=0$ en esta ecuación, que nos da el punto donde la recta corta al eje $OX.$

$$0 = f'(x_0)(x_1-x_0)+f(x_0)$$

Si despejamos $x_1$

$$-f(x_0)= f'(x_0)(x_1-x_0)\quad \Rightarrow\quad -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=x_1 -x_0 $$

y

$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

Análogamente, para obtener $x_2$

$$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$$

y así sucesivamente.

Algoritmo

• Sea $x_0$ un punto inicial.
• Para $k=1,2,\ldots,\mathrm{MaxNumIter}$:

  • Calcular $x_k=x_{k-1}-\dfrac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}$
  • Si $x_k$ satisface el criterio de parada, parar.
  • En el caso contrario, hacer otra iteración.

• En general, el método sólo converge si el punto inicial, $x_0$ está suficiéntemente próximo a la raíz, $\alpha$. En la práctica, se usa el método de bisección unas cuantas veces, o se selecciona sobre una gráfica de $f$ para inicializar el algoritmo.
• En general, aunque no siempre, el método de Newton tiene orden de convergencia 2.

Ventajas

• Es un algorimo que converge rápidamente.
• Es sencillo de programar.

Inconvenientes

• Dependiendo del punto inicial, a veces converge, a veces no.
• Necesitamos la derivada exacta de la función, que no siempre es posible suministrar.

Ejercicio

Aproximar utilizando el método de Newton $r=\sqrt{3}.$ Utilizar como punto inicial $x_{0}=1,$ realizar tres iteraciones y calcular el residuo. Calcular el error absoluto de la aproximación.

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Nuestra ecuación es

$$x=\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad x^2=3 \quad \Rightarrow \quad x^2-3=0$$

Por lo tanto $f(x)=x^2-3$ y $f'(x) = 2x$

La función de iteración viene dada por

$$x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$

En este caso

$$x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^2-3}{2x_k}=\frac{2x_k^2-x_k^2+3}{2x_k}=\frac{x_k^2+3}{2x_k}$$

Es decir

$$x_{k+1} =\frac{x_k^2+3}{2x_k}$$

Iteraciones

• $x_0=1$, $x_1 =\dfrac{x_0^2+3}{2x_0}=\dfrac{1^2+3}{2}=2$

• $x_1=2$, $x_2 =\dfrac{x_1^2+3}{2x_1}=\dfrac{2^2+3}{2(2)}=1.75$

• $x_2=1.75$, $x_3 =\dfrac{x_2^2+3}{2x_2}=\dfrac{1.75^2+3}{2(1.75)}=1.732143$

Once Loop Reflect

Como $\alpha= 1.732051$ el error absoluto es

$$e_a = |x_3-\alpha|=|1.732143-1.732051|=0.000092\approx 0.0001$$

El valor de la función en la raíz es cero. El valor de la función en la aproximación se llama residuo y, si es una buena aproximación, es un número pequeño

$$r =|f(x_3)|=|1.732143^2-3|=0.0003$$

Además, el residuo en el paso $k$, es conocido, mientras que el error es desconocido (necesitamos la raíz exacta, que es lo que estamos buscando).