Contenido

• 1  Demostrar que esta función tiene un único extremo en $\left[1,2\right]$
• 2  Aproximar el extremo utilizando el método de Newton. Utilizar como punto inicial $x_{0}=1$ y realizar 4 iteraciones.
• 3  Calcular el residuo

Sea la función $$h(x)=2x^{2}-x^{3}+\ln\left(2+x\right).$$

1. Demostrar que esta función tiene un único extremo en $\left[1,2\right].$
2. Aproximar el extremo utilizando el método de Newton. Utilizar como punto inicial $x_{0}=1$ y realizar 4 iteraciones.
3. Calcular el residuo.

Demostrar que esta función tiene un único extremo en $\left[1,2\right]$

Si buscamos los extremos de $h$, como la condición necesaria de extremos para una función derivable es que $h'(x)=0$, estamos buscando las raíces de $h'$.

$$h'(x) = 4x-3x^2+\frac{1}{2+x}= \frac{(4x-3x^2)(2+x)+1}{2+x}= \frac{-3x^3-2x^2+8x+1}{2+x}$$

Las raíces de $h'$ son las raíces de $f$, donde

$$f(x) = -3x^3-2x^2+8x+1$$

$$f(x) = -3x^3-2x^2+8x+1$$

Vemos que se cumplen las tres condiciones suficientes para que exista una única raíz en el intervalo:

1. $f$ es contínua.
2. $f$ tiene distinto signo en los extremos.
3. $f$ es estrictamente creciente (o decreciente) en este intervalo.

Demostrémos que se cumplen:

1. $f$ es un polinomio y, por lo tanto, es continua.
2. $f(1)=4$ y $f(2)=-15$
3. $f$ es estrictamente decreciente en $[1,2]$ porque $f'<0$ en $(1,2)$, ya que si factorizamos

$$ f'(x) = -9x^2-4x+8 $$

Para ello calculamos las raíces del polinomio $ax^2+bx+c=0$

$$x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

En este caso, $a=-9$, $b=-4$ y $c=8$

$$x_{1,2} = \frac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4(-9)(8)}}{2(-9)}\quad x_1= -1.19 \quad x_2 = 0.75$$

Por lo tanto

$$f'(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=-9(x+1.19)(x-0.75)$$

y como el primer factor, $-9$ es negativo, y el segundo ,$(x+1.2)$, y el tercero, $(x-0.75)$, positivos en $(1,2)$

$$f'(x)= -9(x+1.2)(x-0.74) = (-)(+)(+)\lt 0 \quad \mathrm{en} \quad (1,2)$$

Aproximar el extremo utilizando el método de Newton. Utilizar como punto inicial $x_{0}=1$ y realizar 4 iteraciones.

La función de iteración viene dada por

$$x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$

En este caso

$$f(x) = -3x^3-2x^2+8x+1 \quad f'(x) = -9x^2-4x+8 $$

Es decir

$$x_{k+1} =x_k-\frac{-3x_k^3-2x_k^2+8x_k+1}{-9x_k^2-4x_k+8}$$

Iteraciones

• $x_0=1$, $$x_1 =1-\frac{-3(1)^3-2(1)^2+8(1)+1}{-9(1)^2-4(1)+8}=1-\frac{-3-2+8+1}{-9-4+8}=1+\frac{4}{5}=1.8$$

• $x_1=1.8$, $$x_2 =1.8-\frac{-3(1.8)^3-2(1.8)^2+8(1.8)+1}{-9(1.8)^2-4(1.8)+8}=1.497602$$

Y así sucesivamente

\begin{array}{|rc|} \hline k & x_k \\ \hline 0 & 1.000000\\ 1 & 1.800000\\ 2 & 1.497602\\ 3 & 1.410600\\ 4 & 1.403193\\ \hline \end{array}

Once Loop Reflect

Calcular el residuo

El valor de la función en la raíz es cero. El valor de la función en la aproximación se llama residuo y, si es una buena aproximación, es un número pequeño

$$r =|f(x_4)|=0.0008$$

Además, el residuo en el paso $k$, es conocido, mientras que el error es desconocido (necesitamos la raíz exacta, que es lo que estamos buscando).

Como $\alpha= 1.403140$ el error absoluto es

$$e_a = |x_4-\alpha|=|1.403193-1.403140|=0.00005$$