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Dada la tabla de valores

$$ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline Q & 14 & 58 & 260 & 1140 & 5660 \\\hline \end{array} $$

ajustar la curva $Q\left(t\right)=r\,e^{\,st},$ calculando los valores $r$ y $s$ utilizando el criterio de los mínimos cuadrados.

Introducción

La función exponencial

La función exponencial se utiliza en modelos sencillos de poblaciones y epidemias. La hipótesis de partida es que la variación de una población $P$ con el tiempo, $\dfrac{dP}{dt},$ es proporcional a la población existente. Y en un modelo de epidemia, la aparición de nuevos casos de infectados es proporcional al número de personas ya contagiadas

$$\frac{dP}{dt} = k P$$

En una epidemia la constante $k$ depende de la probabilidad de que una persona contagie a otras. Este es un modelo sencillo que supone la $k$ constante. Pero variando las condiciones, la probabilidad de contagio puede cambiar.

Sin perder generalidad, podemos suponer que $t_0 = 0$ y que $P(t_0)=P_0$ y resolviendo la ecuación diferencial

$$\frac{dP}{dt} = k P\quad \Longrightarrow \quad\frac{dP}{P} = k dt \quad\Longrightarrow \quad\int_{P_0}^{P(t)}\frac{dP}{P} = \int_{0}^t k dt\quad \Longrightarrow $$$$\Longrightarrow \quad \left(\ln P \right)_{P_0}^{P(t)}t = k\,t\quad\Longrightarrow \quad\ln P(t)-\ln P_0 = k\,t \quad\Longrightarrow \quad \ln \frac{P(t)}{P_0}=kt \quad \Longrightarrow $$$$\Longrightarrow \quad\frac{P(t)}{P_0}=e^{\,kt} \quad \Longrightarrow \quad P(t)=P_0 e^{\,kt}$$

Y vemos que la función exponencial, escrita en esta forma, depende de dos parámetros. En el caso de que modele una población, $P_0$ es población en el momento considerado inicial y $k$ es la constante de crecimiento relativo de la población. En el caso de una epidemia, $P_0$ serían los infectados en el momento considerado inicial y $k$ forma parte del número reproductivo básico, que es el número promedio de casos que genera un infectado, y es $R_0=e^{\,k\tau}$ siendo $\tau$ el periodo infecioso. Si $R_0\lt 1$ la epidemia declina mientras que si $R_0\gt 1$ se propaga.

Linealización de la función de ajuste

Si los datos cumplen (aproximadamente) que $Q = r\,e^{st}$ el ajuste (más adecuado) no va a ser lineal. Tenemos dos opciones:

  • Intentar ajustar los datos con esta función de aproximación. Es decir, utilizar una función de error cuadrática
$$ \begin{array}{ccl} E(r,s) & = &r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2+r_5^2\end{array} $$

que utilizando los puntos

$$ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline Q & 14 & 58 & 260 & 1140 & 5660 \\\hline \end{array} $$

es

$$ \begin{eqnarray*} E(r,s) & = & (Q(1)-14)^{2}+(Q(2)-58)^{2}+(Q(3)-260)^{2}+(Q(4)-1140)^{2}+(Q(5)-5660)^{2}=\\ & = & (r\,e^{s}-18)^{2}+(r\,e^{2s}-90)^{2}+(r\,e^{3s}-260)^{2}+(r\,e^{4s}-510)^{2}+(r\,e^{5s}-990)^{2} \end{eqnarray*} $$

Esta función es derivable pero el problema es que si calculamos las derivadas parciales respecto de $r$ y $s$ obtenemos un sistema de ecuaciones no lineales que son, en general, complicados de resolver. Como las ecuaciones no lineales, los sistemas de ecuaciones se suelen resolver de forma iterativa y pueden ser sensibles al punto inicial escogido.

Otra forma de resolverlo sería minimizar esta función directamente con un algoritmo de optimización. Estos algoritmos también suelen ser iterativos y los resultados depender del punto inicial.

  • Linealizar la función de ajuste y, aplicando las transformaciones correspondientes a los datos, hacer una regresión lineal por mínimos cuadrados.

La ventaja de este método es que (si tenemos puntos suficientes y estos cumplen unas determinadas condiciones) la solución está determinada y se calcula resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. La solución no coincide totalmente con la solución del primer planteamiento, pero da muy buen resultado de forma mucho más sencilla.

Ejercicio

Así que vamos a linealizar la función a ajustar. Si tenemos en cuenta que

$$ \ln(AB)=\ln A +\ln B \quad \ln A^B =B\ln A \quad \ln e = 1 $$

entonces

$$ Q = r\,e^{\,st} \quad \Longrightarrow \quad \ln Q = \ln(r\,e^{\,st}) \quad \Longrightarrow \quad \ln Q = \ln r +\ln(e^{\,st}) \quad \Longrightarrow$$$$\Longrightarrow \quad \ln Q = \ln r +st\,\ln e \quad \Longrightarrow \quad \ln Q = \ln r +s\,t $$

Y si llamamos

$$ y_k = \ln Q_k, \quad x_k =t_k, \quad a_0 = \ln r, \quad a_1=s $$

tenemos

$$ \ln Q_k \approx \ln r +s\,t_k \quad \Longrightarrow \quad y_k \approx a_0 + a_1\, x_k $$

el problema es ahora ajustar una recta de regresión mínimo cuadrática

$$ P_1(x) = a_0 + a_1\, x $$

a los datos transformados $(x_k,y_k),\quad k = 1,\ldots,5$ con el sistema

$$ \left(\begin{array}{cc} \sum_{k=1}^{5}1 & \sum_{k=1}^{5}x_{k}\\ \sum_{k=1}^{5}x_{k} & \sum_{k=1}^{5}x_{k}^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \sum_{k=1}^{5}y_{k}\\ \sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k} \end{array}\right) $$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} \hline & x_k = t_k & Q_k & y_{k}=\ln Q_k & x_{k}^{2} & x_{k}\,y_k\\ \hline & 1 & 14 & 2.639 & 1 & 2.639 \\ & 2 & 58 & 4.060 & 4 & 8.121 \\ & 3 & 260 & 5.561 & 9 & 16.68 \\ & 4 & 1140 & 7.039 & 16 & 28.16\\ & 5 & 5660 & 8.641 & 25 & 43.21\\ \hline \sum & 15 & & 27.94 & 55 & 98.80\\ \hline \end{array} $$

Sustituyendo los datos y operando

$$ \begin{array}{rcrcc} 5\,a_{0} & + & 15\,a_{1} & = & 27.94\\ 15\,a_{0} & + & 55\,a_{1} & = & 98.80 \end{array} $$

Y la solución de este sistema es $a_0 = 1.093 \quad a_1=1.498$. Como

$$ a_0 =\ln r, \quad a_1=s \quad \Longrightarrow \quad r = e^{\,a_0}\approx 3 \quad s = a_1\approx 1.5 $$

La curva ajustada es

$$ Q(t)=3\,e^{\,1.5t} $$

Resumiendo:

  • Aplicamos una transformación que linealice la función que siguen los puntos.
  • Aplicamos la misma transformación a los puntos.
  • Ajustamos los puntos transformados a una recta por el método de los mínimos cuadrados.
  • Utilizando los parámetros de la recta, $a_0$ y $a_1$, deducimos los parámetros de nuestra curva de ajuste $r$ y $s$ y ya tenemos la curva de ajuste.