Contenidos

• 1  Introducción
  • 1.1  La función logística
• 2  Ejercicio

Para una población que evoluciona con el tiempo según la función $P(t),$ limitada por un valor $L,$ de tipo logístico,

$$P\left(t\right)=\frac{L}{1+c\,e^{\,Kt}}$$

se han reunido los siguientes datos

$$ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline t & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline P & 200 & 400 & 650 & 850 & 950 \\ \hline \end{array}$$

Y tomando $L=1000,$ calcular los valores $c$ y $K$ utilizando el criterio de los mínimos cuadrados.

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Introducción

La función logística

Una función un poco más compleja que la exponencial para modelizar poblaciones y epidemias es la función logística. En el caso de una población, describe la dinámica de una población en un entorno de recursos limitados. En el caso de un modelo epidemiológico, asume que hay un número máximo de individuos $L$ que se pueden contagiar. La ecuación diferencial que la describe es parecida a la exponencial pero aparece un factor que pone de relieve esta limitación

$$\frac{dP}{dt} = K P\left(1-\frac{P}{L}\right)$$

En los primeros momentos de la epidemia, cuando hay pocos individuos contagiados

$$ \frac{P}{L}\approx 0 \qquad \frac{dP}{dt} \approx K P $$

la curva se comporta como una exponencial. Cuando la proporción de contagiados crece los suficiente el proceso se ralentiza porque hay muchos individuos que ya no son suceptibles de contagio porque ya se han infectado y la curva se comporta como una recta. En las últimas fases el número de infectados ya no crece.

Ejercicio

Así que vamos a linealizar la función a ajustar.

$$ P=\frac{L}{1+c\,e^{\,Kt}} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{P}=\frac{1+c\,e^{\,Kt}}{L} \quad \Longrightarrow \quad \frac{L}{P}=1+c\,e^{\,Kt} \quad \Longrightarrow $$

.

$$ \Longrightarrow \quad \frac{L}{P}-1=c\,e^{\,Kt} \quad \Longrightarrow \quad \ln\left(\frac{L}{P}-1\right)=\ln\left(c\,e^{\,Kt}\right) \quad \Longrightarrow $$

.

$$ \Longrightarrow \quad \ln \frac{L-P}{P}=\ln c + \ln e^{\,Kt} \quad \Longrightarrow \quad \ln \frac{L-P}{P}=\ln c + K\,t \ln e \quad \Longrightarrow $$

.

$$ \ln \frac{L-P}{P}=\ln c + K\,t $$

Y si llamamos

$$ y_k = \ln \frac{L-P_k}{P_k}, \quad x_k =t_k, \quad a_0 =\ln c, \quad a_1=K $$

tenemos

$$ \ln \frac{L-P_k}{P_k}\approx\ln c + K\,t_k \quad \Longrightarrow \quad y_k \approx a_0 + a_1\, x_k $$

el problema es ahora ajustar una recta de regresión mínimo cuadrática

$$ P_1(x) = a_0 + a_1\, x $$

a los datos transformados $(x_k,y_k),\quad k = 1,\ldots,5$ con el sistema

$$ \left(\begin{array}{cc} \sum_{k=1}^{5}1 & \sum_{k=1}^{5}x_{k}\\ \sum_{k=1}^{5}x_{k} & \sum_{k=1}^{5}x_{k}^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \sum_{k=1}^{5}y_{k}\\ \sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k} \end{array}\right) $$

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} \hline & x_k=t_k & P_k & y_{k}=\ln((L-P_k)/P_k) & x_{k}^{2} & x_{k}\,y_k\\ \hline & 0 & 200 & 1.386 & 0 & 0.\\ & 1 & 400 & 0.405 & 1 & 0.4055 \\ & 2 & 650 & -0.619 & 4 & -1.238 \\ & 3 & 850 & -1.735 & 9 & -5.204\\ & 4 & 950 & -2.944 & 16 & -11.78 \\ \hline \sum & 10 & & -3.506 & 30 & -17.81 \\ \hline \end{array} $$

Sustituyendo los datos y operando

$$ \begin{array}{ccccc} 5a_{0} & + & 10 a_{1} & = & -3.506\\ 10 a_{0} & + & 30 a_{1} & = & -17.81 \end{array} $$

Y la solución de este sistema es $a_0 = 1.459 \quad a_1=-1.080$. Como

$$ a_0 =\ln c \quad a_1=K \quad \Longrightarrow c = e^{a_0}\approx 4.3 \quad K = a_1\approx -1.08 $$

La curva ajustada es

$$ P\left(t\right)=\frac{1000}{1+4.3\,e^{-1.08t}} $$