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Ejercicio

Si $f(x)=e^{x}$

  1. Aproximar la derivada en $x_{0}=0$ con $h=1$ y $h=0.1$ usando las fórmulas centrada, progresiva y regresiva.
  2. Calcular el error absoluto y relativo en cada caso.
  3. Estudiar el orden de cada una de las tres fórmulas.

A partir de la definición de derivada

$$ f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$

podemos obtener tres aproximaciones o fórmulas en diferencias finitas

Cálculo de la derivada aproximada con la fórmula progresiva

Si $x = x_0+h$ con $h \gt 0$ entonces $h = x-x_0$ y

$$ f^{\prime}(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Para $x_0=0$ y $h=1$ $$f^{\prime}(0)\approx\frac{f(0+1)-f(0)}{1}=\frac{2.72-1}{1}=1.72$$

Y para $x_0=0$ con $h=0.1$ $$f^{\prime}(0)\approx\frac{f(0+0.1)-f(0)}{h}=\frac{1.105-1}{0.1}=1.05$$

Para estas fórmulas, geométricamente

  • La derivada exacta de una función $f$ en un punto $x_0$ nos da la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.
  • La derivada aproximada de una función $f$ en un punto $x_0$ nos da la pendiente de la recta secante a la curva en los dos puntos que usamos en la fórmula.

Por lo tanto, cuanto más parecidas sean estas dos rectas, más parecidos serán el valor exacto y la aproximación. En el dibujo, por ejemplo, son notablemente diferentes porque $h$ es muy grande. Si los cálculos no tuvieran error (con aritmética finita sí que lo tienen), cuanto menor sean $h$ menor es el error de la aproximación.

Cálculo de la derivada aproximada con la fórmula regresiva

Si $x = x_0-h$ con $h \gt 0$ entonces $-h = x-x_0$ y

$$ f^{\prime}(x_0)\approx\frac{f(x_0 -h)-f(x_0)}{-h}=\frac{f(x_0)-f(x_0 -h)}{h}$$

Para $x_0=0$ y $h = 1$ $$f^{\prime}(0)\approx\frac{f(0)-f(0-1)}{1}=\frac{1-0.37}{1}=0.63$$

Para $x_0=0$ y $h = 0.1$ $$f^{\prime}(0)\approx\frac{f(0)-f(0-0.1)}{0.1}=\frac{1-0.905}{0.1}=0.95$$

Cálculo de la derivada aproximada con la fórmula centrada

Si hacemos un promedio de la fórmula progresiva y regresiva

$$f^{\prime}(x_0)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0)-f(x_0 -h)}{h}\right)= \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$$

Para $x_0=0$ y $h = 1$ $$f^{\prime}(0)\approx \frac{f(0+1)-f(0-1)}{2(1)}=\frac{2.72-0.37}{2(1)}=1.18$$

Para $x_0=0$ y $h = 0.1$ $$f^{\prime}(0)\approx \frac{f(0+0.1)-f(0-0.1)}{2(0.1)}=\frac{1.1052- 0.9048}{2(0.1)}=1.002$$

En este caso la pendiente de la recta tangente y la recta secante, a pesar de ser $h$ grande, es bastante parecida, por lo que cabe esperar que el valor exacto y el aproximado se parezcan más que en los casos anteriorer. Esto se debe a que esta es una fórmula de orden dos, mientras que las dos fórmulas anteriores son de orden uno.

Cálculo del error

Si $y$ es el valor real y $y^*$ el aproximado:

  • Error absoluto $$e_a=|y-y^*|$$
  • Error relativo $$e_r=\frac{e_a}{|y|}$$

El error relativo está dado en tanto por uno. Si lo multiplicamos por cien vendrá dado en porcentaje.

  • Para $h = 1$
    • Fórmula progresiva
      • Error absoluto $$e_a=|y-y^*|= |1.00-1.72|=0.72$$
      • Error relativo $$e_r=\frac{e_a}{|y|}=\frac{0.72}{1}=0.72=72\%$$
    • Fórmula regresiva
      • Error absoluto $$e_a=|y-y^*|= |1.00-0.63|=0.37$$
      • Error relativo $$e_r=\frac{e_a}{|y|}=\frac{0.37}{1}=0.37=37\%$$
    • Fórmula centrada
      • Error absoluto $$e_a=|y-y^*|= |1.00-1.18|=0.18$$
      • Error relativo $$e_r=\frac{e_a}{|y|}=\frac{0.18}{1}=0.18=18\%$$
  • Para $h = 0.1$
    • Fórmula progresiva
      • Error absoluto $$e_a=|y-y^*|= |1.00-1.05|=0.05$$
      • Error relativo $$e_r=\frac{e_a}{|y|}=\frac{0.05}{1}=0.05=5\%$$
    • Fórmula regresiva
      • Error absoluto $$e_a=|y-y^*|= |1.00-0.95|=0.05$$
      • Error relativo $$e_r=\frac{e_a}{|y|}=\frac{0.37}{1}=0.05=5\%$$
    • Fórmula centrada
      • Error absoluto $$e_a=|y-y^*|= |1.000-1.002|=0.002$$
      • Error relativo $$e_r=\frac{e_a}{|y|}=\frac{0.002}{1}=0.002=0.2\%$$

Vemos que para un mismo $h$ la fórmula centrada da un error menor. Y también que cuanto más pequeño el $h$ menor el error (hasta un cierto punto, porque si $h$ es demasiado pequeño dominan los errores de redondeo y el error vuelve a aumentar).

Estudio del orden de las fórmula progresiva

Decimos que una fórmula de derivación numérica es de orden $n$ si el error absoluto

$$E_h = K\,h^n$$

Como $h$ es un valor pequeño, cuanto mayor sea $n$ más pequeño será el error de la fórmula (si $h = 0.1$ entondes $h^2=0.01$ y $h^3= 0.001$)

La fórmula progresiva es

$$ f'(a)\approx \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

La fórmula de Taylor se puede escribir

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\frac{x-x_0}{1!}+f''(c)\frac{(x-x_0)^2}{2!} \quad c \in(x,x_0)\;\mathrm{o}\; c\in (x_0,x)$$

Si $x_0=a$ y $x=a+h$ entonces $h = x-x_0$ y podemos reescribir la fórmula como

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)\frac{h}{1!}+f''(c)\frac{h^2}{2!} \quad c \in(a+h,a) \;\mathrm{o}\; c\in (a,a+h)$$

Si tenemos en cuenta la fórmula progresiva, restando $f(a)$ a los dos miembros

$$f(a+h)-f(a)=f'(a)\frac{h}{1!}+f''(c)\frac{h^2}{2!}$$

y dividiendo por $h$

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)+f''(c)\frac{h}{2}$$

o también

$$-f''(c)\frac{h}{2}=f'(a)-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Y como el error es el valor exacto menos el aproximado

$$E_h =f'(a)-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

el error de la fórmula es de la forma

$$E_h =-f''(c)\frac{h}{2}= K\,h$$

y como el exponente de la $h$ nos da el orden de la fórmula, esta es una fórmula de orden 1.

Estudio del orden de las fórmula regresiva

$$ f'(a)\approx \frac{f(a)-f(a-h)}{h} $$

La fórmula de Taylor se puede escribir

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\frac{x-x_0}{1!}+f''(c)\frac{(x-x_0)^2}{2!} \quad c \in(x,x_0)\;\mathrm{o}\; c\in (x_0,x)$$

Si $x_0=a$ y $x=a-h$ entonces $-h = x-x_0$ y podemos reescribir la fórmula como

$$f(a-h)=f(a)+f'(a)\frac{-h}{1!}+f''(c)\frac{(-h)^2}{2!} \quad c \in(a+h,a) \;\mathrm{o}\; c\in (a,a+h)$$

Si tenemos en cuenta la fórmula progresiva, restando $f(a)$ a los dos miembros

$$f(a-h)-f(a)=-f'(a)\frac{h}{1!}+f''(c)\frac{h^2}{2!}$$

y dividiendo por $-h$

$$\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}=f'(a)-f''(c)\frac{h}{2}$$

que es

$$\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=f'(a)-f''(c)\frac{h}{2}$$

o también

$$f''(c)\frac{h}{2}=f'(a)-\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$$

y como el error es el valor exacto menos el aproximado

$$E_h =f'(a)-\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$$

el error de la fórmula es de la forma

$$E_h =f''(c)\frac{h}{2}= K\,h$$

y como el exponente de la $h$ nos da el orden de la fórmula, esta es una fórmula de orden 1.

Estudio del orden de las fórmula centrada

$$ f'(a)\approx \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} $$

La fórmula de Taylor se puede escribir

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\frac{x-x_0}{1!}+f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!} +f'''(c)\frac{(x-x_0)^3}{3!}$$

con

$$ c \in(x,x_0)\;\mathrm{o}\; c\in (x_0,x) $$

Si $x_0=a$ y $x=a+h$ entonces $h = x-x_0$ y podemos reescribir la fórmula como

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)\frac{h}{1!}+f''(a)\frac{h^2}{2!} +f'''(c_1)\frac{h^3}{3!}$$

Si $x_0=a$ y $x=a-h$ entonces $-h = x-x_0$ y podemos reescribir la fórmula como

$$f(a-h)=f(a)+f'(a)\frac{-h}{1!}+f''(a)\frac{(-h)^2}{2!} +f'''(c_2)\frac{(-h)^3}{3!} $$

Y $-f(a-h)$ es

$$-f(a-h)=-f(a)+f'(a)\frac{h}{1!}-f''(a)\frac{h^2}{2!} +f'''(c_2)\frac{h^3}{3!} $$

Si tenemos en cuenta la fórmula centrada, sumando $f(a+h)+(-f(a-h))$ a los dos miembros y teniendo en cuenta, que si $f'''$ es continua, por el teorema del valor intermedio, podemos encontrar un valor $c_3$ en $(c_1,c_2)$ tal que $$f'''(c_3)=\frac{f'''(c_1)+f'''(c_2)}{2}$$ se tiene

$$f(a+h)-f(a-h)=2f'(a)h+2f'''(c_3)\frac{h^3}{6}$$

y dividiendo por $2h$

$$\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=f'(a)+f'''(c_3)\frac{h^2}{6}$$

o también

$$-f'''(c_3)\frac{h^2}{6}=f'(a)-\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$$

Y como el error es el valor exacto menos el aproximado

$$E_h =f'(a)-\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$$

y el error de la fórmula es de la forma

$$E_h =-f'''(c)\frac{h^2}{6}= K\,h^2$$

y como el exponente de la $h$ nos da el orden de la fórmula, esta es una fórmula de orden 2.