Supongamos que tenemos tres puntos $$\left(x_{0},y_{0}\right)\qquad \left(x_{1},y_{1}\right)\qquad \left(x_{2},y_{2}\right)$$ con $$x_{1}=x_{0}+h\qquad x_{2}=x_{0}+2h\qquad 0\lt h \lt 1$$
- Construir fórmulas que aproximen $f'(x_{0})$, $f'(x_{1})$, $f'(x_{2})$ que utilicen sólo estos tres puntos y que sean de orden $2$.
- Construir también una fórmula que aproxime la derivada segunda.
- Utilizarlas para aproximar la derivada primera y segunda de $f(x)=\ln x$ en $1.5$ con $h = 0.1$.
Construir fórmulas que aproximen $f'(x_{0})$, $f'(x_{1})$, $f'(x_{2})$¶
Con números¶
Veamos primero un ejemplo con números. Luego generalizaremos a tres nodos cualesquiera.
$$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline k & 0 & 1 & 2\\ \hline x_{k} & 1.4 & 1.5 & 1.6\\ \hline y_{k}=\ln{x_{k}} & 0.3365 & 0.4055 & 0.4700\\ \hline \end{array} $$tenemos que
Calculemos la parábola que pasa por estos tres puntos usando el polinomio interpolante de Newton
$$ P_2(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+[y_{0},y_{1},y_{2}](x-x_{0})(x-x_{1}) $$Necesitamos calcular los coeficientes con la tabla de diferencias divididas
Cambiando las variables por sus valores
Y el polinomio de interpolación es
$$ P_2(x)=c_0+c_1(x-x_{0})+c_2(x-x_{0})(x-x_{1}) $$y sustituyendo los valores de la tabla
$$ P_2(x)=0.3365+0.6900(x-1.4)-0.2250(x-1.4)(x-1.5) $$Y este es el polinomio de interpolación que pasa por los tres puntos
Ahora calculamos la derivada de $P_2$
$$ P'_2(x)=0.6900-0.2250[(x-1.4)+(x-1.5)] $$y su derivada segunda
$$ P''_2(x)=-0.2250[2]= -0.4500 $$Y ya podemos usarlo para estimar derivadas en los nodos
- Si usamos $x_0=1.4$ estaremos usando una fórmula progresiva
- Si usamos $x_1=1.5$ estaremos usando una fórmula centrada
- Si usamos $x_2=1.6$ estaremos usando una fórmula regresiva
Derivando otra vez, tendremos una aproximación de la derivada segunda
$$ P''_2(x)=-0.2250(2)=-0.4500 $$- La usaremos para el punto medio $x_1=1.5$ y será una fórmula centrada
Comparemos con los valores exactos. Tomando
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \quad f''(x) = -\frac{1}{x^2} $$Aunque el menor error lo vuelve a dar la fórmula centrada, todos los errores son, aproximadamente, del mismo orden de magnitud ya que todas los fórmulas son de orden dos.
Con variables¶
Ahora generalizamos a tres nodos cualesquiera
Si usamos un polinomio de interpolación de $f$ de $2^{o}$ grado en $x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$, siendo $y_{j}=f(x_{j})$, el polinomio de interpolación en la forma de Newton es:
$$ p(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+[y_{0},y_{1},y_{2}](x-x_{0})(x-x_{1}) $$Necesitamos calcular los coeficientes con la tabla de diferencias divididas
$$ \begin{array}{cccc} x_0 & \fbox{$y_0$}^{\;\large{c_0}} & & \\ & & \fbox{$[y_0,y_1]=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$}^{\;\large{c_1}} & \\ x_1 & y_1 & &\fbox{$[y_0,y_1,y_2]=\dfrac{[y_1,y_2]-[y_0,y_1]}{x_2-x_0}$}^{\;\large{c_2}}\\ & & [y_1,y_2]=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} & \\ x_2 & y_2 & & \\ \end{array} $$con
- El primer coeficiente del polinomio$$ c_0=y_{0} $$
- El segundo coeficiente del polinomio $$ c_1=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y_{1}-y_{0}}{h}, $$
- Y el tercer coeficiente $$ c_2=\frac{[y_{1},y_{2}]-[y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}=\frac{1}{2h}\big(\frac{y_{2}-y_{1}}{h}-\frac{y_{1}-y_{0}}{h}\big)=\frac{1}{2h^{2}}\big(y_{0}-2y_{1}+y_{2}\big). $$
Resumiendo
$$ c_0=y_{0},\quad c_1=\frac{y_{1}-y_{0}}{h},\quad c_2=\frac{1}{2h^{2}}(y_{0}-2y_{1}+y_{2}). $$Como
$$ p(x)=c_0+c_1(x-x_{0})+c_2(x-x_{0})(x-x_{1}) $$Si derivamos $p(x)$
$$ f'(x)\approx p'(x)=c_1+c_2((x-x_{0})+(x-x_{1})) $$Fórmula progresiva¶
Es la fórmula para el punto $x_{0}$
$$ f'(x_{0})\approx p'(x_{0})=c_1+c_2((x_{0}-x_{0})+(x_{0}-x_{1})), $$Por lo tanto
$$ f'(x_{0})\approx\frac{y_{1}-y_{0}}{h}+\frac{1}{2h^{2}}\big(y_{0}-2y_{1}+y_{2}\big)(-h), $$Y finalmente
$$ \fbox{$f'(x_{0})\approx\dfrac{-3y_{0}+4y_{1}-y_{2}}{2h}$} $$Fórmula centrada¶
Es la fórmula para el punto $x_{1}$
$$ f'(x_{1})\approx p'(x_{1})=c_1+c_2((x_{1}-x_{0})+(x_{1}-x_{1})), $$Por lo tanto
$$ f'(x_{1})\approx\frac{y_{1}-y_{0}}{h}+\frac{1}{2h^{2}}\big(y_{0}-2y_{1}+y_{2}\big)h, $$Y finalmente
$$ \fbox{$f'(x_{1})\approx\frac{-y_{0}+y_{2}}{2h}$} $$Fórmula regresiva¶
Es la fórmula para el punto $x_{2}$
$$ f'(x_{2})\approx p'(x_{2})=c_1+c_2((x_{2}-x_{0})+(x_{2}-x_{1})), $$Por lo tanto
$$ f'(x_{2})\approx\frac{y_{1}-y_{0}}{h}+\frac{1}{2h^{2}}\big(y_{0}-2y_{1}+y_{2}\big)(2h+h), $$Y finalmente
$$ \fbox{$f'(x_{2})\approx\frac{y_{0}-4y_{1}+3y_{2}}{2h}$} $$Construir una fórmula que aproxime la derivada segunda¶
Si derivamos $p'(x)$
$$ f'(x)\approx p'(x)=[y_{0},y_{1}]+[y_{0},y_{1},y_{2}]((x-x_{0})+(x-x_{1})), $$o también
$$ f'(x)\approx p'(x)=c_1+c_2((x-x_{0})+(x-x_{1})), $$Tenemos que
$$ f''(x)\approx p''(x)=2c_2, $$Por lo tanto
$$ f''(x_1)\approx p''(x_1)=2c_2=\frac{1}{h^{2}}\big(y_{0}-2y_{1}+y_{2}\big), $$es decir
$$ \fbox{$f''(x_1)\approx \frac{1}{h^{2}}\big(y_{0}-2y_{1}+y_{2}\big)$} $$O si llamamos $x_1=a$ entonces $x_0 = a-h$ y $x_2 = a+h$ y la fórmula se puede escribir también como $f''(a)\approx p''(a)$
$$ \fbox{$f''(a)\approx \frac{f(a-h)-2f(a)+f(a+h)}{h^{2}}$} $$Utilizarlas para aproximar la derivada primera y segunda de $f(x)=\ln x$ en $1.5$ con $h = 0.1$¶
- La fórmula progresiva es $$ f'(x_{0})\approx\frac{-3y_{0}+4y_{1}-y_{2}}{2h}. $$ Si el punto es $x_0 = 1.5$ entonces $x_1= 1.6$ y $x_2 = 1.7$ y tomamos los valores $$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline k & 0 & 1 & 2\\ \hline x_{k} & 1.5 & 1.6 & 1.7\\ \hline y_{k}=\ln{x_{k}} & 0.4055 & 0.4700 & 0.5306\\ \hline \end{array} $$ que sustituyendo en la fórmula es $$ f'(1.5)\approx \frac{-3(0.4055)+4(0.4700)-(0.5306)}{2(0.1)}=0.6645 $$
- La fórmula centrada es $$ f'(x_{1})\approx\frac{-y_{0}+y_{2}}{2h}. $$ Si el punto es $x_1 = 1.5$ entonces $x_0= 1.4$ y $x_2 = 1.6$ y tomamos los valores $$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline k & 0 & 1 & 2\\ \hline x_{k} & 1.4 & 1.5 & 1.6\\ \hline y_{k}=\ln{x_{k}} & 0.3365 & 0.4055 & 0.4700\\ \hline \end{array} $$ que sustituyendo en la fórmula es $$ f'(1.5)\approx\frac{-0.3365+0.4700}{2(0.1)}= 0.6675 $$
- La fórmula regresiva es $$ f'(x_{2})\approx\frac{y_{0}-4y_{1}+3y_{2}}{2h}. $$ Si el punto es $x_2 = 1.5$ entonces $x_1= 1.4$ y $x_0 = 1.3$ y tomamos los valores $$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline k & 0 & 1 & 2\\ \hline x_{k} & 1.3 & 1.4 & 1.5\\ \hline y_{k}=\ln{x_{k}} & 0.2624 & 0.3365 & 0.4055\\ \hline \end{array} $$ que sustituyendo en la fórmula es $$ f'(1.5)\approx\frac{0.2624-4(0.3365)+3(0.4055)}{2(0.1)}=0.6645 $$ Y el valor exacto de la primera derivada es $$f(x)=\ln x \quad f'(x) = \frac{1}{x} \quad f'(1.5) = \frac{1}{1.5}=0.6667$$
- Para aproximar la derivada segunda, la fórmula que construímos es centrada, por lo tanto si el punto es $x_1 = 1.5$ entonces $x_0= 1.4$ y $x_2 = 1.6$ y tomamos los valores $$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline k & 0 & 1 & 2\\ \hline x_{k} & 1.4 & 1.5 & 1.6\\ \hline y_{k}=\ln{x_{k}} & 0.3365 & 0.4055 & 0.4700\\ \hline \end{array} $$ Y la aproximación es $$ f''(x_1)\approx \frac{1}{h^{2}}\big(y_{0}-2y_{1}+y_{2}\big)=\frac{1}{0.1^{2}}\big(0.3365-2(0.4055)+0.4700\big)=-0.4500 $$ Y el valor exacto de la derivada segunda es $$f(x)=\ln x \quad f'(x) = \frac{1}{x} \quad f''(x) = -\frac{1}{x^2}\quad f''(1.5) = -\frac{1}{1.5^2}=-0.4444$$
Comparemos los resultados
Aunque el menor error lo vuelve a dar la fórmula centrada, todos los errores son, aproximadamente, del mismo orden de magnitud, las milésimas, ya que todas los fórmulas son de orden dos.