Deducir y estudiar la precisión de:
- La regla del punto medio.
- La regla del trapecio.
Introducción¶
Fórmulas de cuadratura¶
Las fórmulas de integración numérica o de cuadratura son de la forma:
$$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \omega_{0}\;f(x_{0})+\omega_{1}\;f(x_{1})+\cdots +\omega_{n}\;f(x_{N}) $$donde $x_{0},x_{1},...,x_{N}$ (nodos) son $N+1$ puntos distintos pertenecientes al intervalo $[a,b]$ y $\omega_{0},\omega_{1},\ldots ,\omega_{N}$ (pesos) son números reales.
Fórmulas interpolatorias¶
Si $P_{N}$ es el polinomio que interpola a $f$ en los puntos distintos $x_{0},x_{1},...,x_{N} \in \left[ a,b\right]$ y
$$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int_{a}^{b}P_N(x)\,dx=\omega_{0}\,f(x_{0})+\omega_{1}\,f(x_{1})+\cdots +\omega_{n}\,f(x_{N}) $$decimos que la fórmula de cuadratura es de tipo interpolatorio.
Fórmulas de cuadratura simples y compuestas¶
Las fórmulas de cuadratura se llaman simples si la aproximación se hace en el intervalo completo $(a,b)$, y compuestas si, antes de aplicar la fórmula, dividimos el intervalo $(a,b)$, en $n$ subintervalos.
Grado de precisión¶
Una fórmula de cuadratura tiene grado de precisión $r$ si es exacta para
$$ f\left( x\right) =1,\quad f\left( x\right) =x,\quad f\left( x\right) =x^{2},...,\quad f\left( x\right) =x^{r}$$pero no es exacta para $f\left( x\right) =x^{r+1}$
Fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes simples¶
Son fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio, eligiendo los puntos de interpolación (nodos de la fórmula) igualmente separados de una de las dos formas siguientes:
- Fórmulas cerradas. Los límites de integración $a$ y $b$ son nodos de la fórmula. Por ejemplo, los nodos para una fórmula cerrada de cuatro nodos serían
- Fórmulas abiertas. Ninguno de los límites de integración es nodo de la fórmula. Por ejemplo, los nodos para una fórmula abierta de cuatro nodos serían
La regla del punto medio¶
La fórmula del punto medio es
$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\;f\left( \frac{a+b}{2}\right)$$Usar la fórmula del punto medio para integrar una función en un intervalo, equivale a sustituir, dentro de la integral, la función a integrar por el polinomio de interpolación de grado cero, es decir, una recta horizontal que pasa por el punto medio de la función. Sustituimos la función por una recta e integramos. Estamos entonces calculando el área de un rectángulo. Por ejemplo, dada la integral
$$ \int_2^3 \ln x \,dx$$
Construcción de la regla del punto medio¶
La fórmula del Punto Medio se obtiene integrando el polinomio de grado 0 que pasa por el punto medio del intervalo de integración. Si escribimos este polinomio en la forma de Lagrange
$$P_{0}(x)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$y entonces $$\int_{a}^{b}f(x)\, dx\approx\int_{a}^{b}P_{0}(x)\, dx=\int_{a}^{b}f\left(\frac{a+b}{2}\right)\, dx=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\int_{a}^{b}1\, dx=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\left[x\right]_{a}^{b}=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(b-a\right)$$
Por lo tanto, la regla del punto medio simple es
$$\int_{a}^{b}f(x)\, dx\approx\left(b-a\right)f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$Y si llamamos $h=b-a$ a la longitud del intervalo de integración, podemos escribir la fórmula
$$\int_{a}^{b}f(x)\, dx\approx hf\left(\frac{a+b}{2}\right)$$que es el área del rectángulo de base $h$ y altura $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right).$
Precisión de la regla del punto medio¶
Para que una fórmula de cuadratura sea exacta para un polinomio $P_{n}$ de grado $n$, o lo que es lo mismo, tenga precisión $n$, dicha fórmula ha de ser exacta para las funciones $1$, $x$, $x^{2}$, $\ldots$, $x^{n}$ y no serlo para $x^{n+1}$. Veamos la fórmula del punto medio:
¿Es exacta para $f(x)=1$? Sí, porque
$$\int_{a}^{b}1\, dx=b-a$$y para este intervalo y esta función la fórmula del punto medio es
$$\left(b-a\right)f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\left(b-a\right)1=b-a$$¿Es exacta para $f(x)=x$? Sí, porque
$$\int_{a}^{b}x\, dx=\frac{b^{2}-a^{2}}{2}$$y para este intervalo y esta función la fórmula del punto medio es
$$\left(b-a\right)f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\left(b-a\right)\frac{a+b}{2}=\frac{\left(b+a\right)\left(b-a\right)}{2}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2}$$¿Es exacta para $f(x)=x^{2}$? No, porque
$$\int_{a}^{b}x^{2}\, dx=\frac{b^{3}-a^{3}}{3}$$y para este intervalo y esta función la fórmula del punto medio es
$$\left(b-a\right)f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\left(b-a\right)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\frac{b^{3}+ab^{2}-a^{2}b-a^{3}}{4}$$Como es exacta para $1$ y $x$ pero no para $x^{2}$, es exacta para polinomios de hasta grado $1$ pero no para grado $2$ y la precisión de la fórmula es 1.
La regla del trapecio¶
La fórmula de los trapecios simple es
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\;\left( f\left( a\right) +f\left( b\right) \right)$$Usar la fórmula de los trapecios para integrar una función en un intervalo, equivale a sustituir, dentro de la integral, la función a integrar por el polinomio de interpolación de grado uno, que pasa por los puntos de la función de los extremos del intervalo. Es decir, sustituimos la función por una recta e integramos. Estamos entonces calculando el área de un trapecio. Por ejemplo, dada la integral
$$ \int_2^3 \ln x \,dx$$
Construcción de la regla del trapecio¶
La fórmula de los Trapecios se obtiene integrando el polinomio de grado 1 que pasa por los extremos del intervalo de integración. Si escribimos este polinomio en la forma de Lagrange que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$
se tiene que
$$\int_{a}^{b}f(x)\, dx\approx\int_{a}^{b}P_{1}(x)\, dx=\frac{f(a)}{a-b}\int_{a}^{b}(x-b)\, dx+\frac{f(b)}{b-a}\int_{a}^{b}(x-a)\, dx=$$.
$$=\frac{f(a)}{a-b}\left[\frac{(x-b)^{2}}{2}\right]_{a}^{b}+\frac{f(b)}{b-a}\left[\frac{(x-a)^{2}}{2}\right]_{a}^{b}=\frac{f(a)}{a-b}\,\frac{-(a-b)^{2}}{2}+\frac{f(b)}{b-a}\,\frac{(b-a)^{2}}{2}=$$.
$$=f(a)\,\frac{-(a-b)}{2}+f(b)\,\frac{(b-a)}{2}=\frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right)$$Por lo tanto, la regla del trapecio simple es
$$\int_{a}^{b}f(x)\, dx\approx\frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right)$$Y si llamamos $h=b-a$ a la longitud del intervalo de integración, podemos escribir la fórmula
$$\int_{a}^{b}f(x)\, dx\approx\frac{h}{2}\left(f(a)+f(b)\right)$$que es el área del trapecio de base $h$ y alturas $f(a)$ y $f(b)$ (el área del trapecio es la base por el promedio de las alturas).
Precisión de la regla del trapecio¶
Para que una fórmula de cuadratura sea exacta para un polinomio $P_{n}$ de grado $n$, o lo que es lo mismo, tenga precisión $n$, dicha fórmula ha de ser exacta para las funciones $1$, $x$, $x^{2}$, $\ldots$, $x^{n}$ y no serlo para $x^{n+1}$. Veamos la fórmula de los Trapecios:
¿Es exacta para $f(x)=1$? Sí, porque
$$\int_{a}^{b}1dx=b-a$$y para este intervalo y esta función la fórmula de los trapecios es
$$\frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right)=\frac{b-a}{2}\left(1+1\right)=b-a$$¿Es exacta para $f(x)=x$? Sí, porque
$$\int_{a}^{b}x\, dx=\frac{b^{2}-a^{2}}{2}$$y para este intervalo y esta función la fórmula de los trapecios es
$$\frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right)=\frac{b-a}{2}\left(a+b\right)=\frac{\left(b+a\right)\left(b-a\right)}{2}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2}$$¿Es exacta para $f(x)=x^{2}$? No, porque
$$\int_{a}^{b}x^{2}\, dx=\frac{b^{3}-a^{3}}{3}$$y para este intervalo y esta función la fórmula de los trapecios es
$$\frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right)=\frac{b-a}{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)=\frac{b^{3}-ab^{2}+a^{2}b-a^{3}}{2}$$Como es exacta para $1$ y $x$ pero no para $x^{2}$, es exacta para polinomios de hasta grado $1$ pero no para grado $2$ y la precisión de la fórmula es $1$.