Ejercicio¶
Calcular la integral $$I=\int_{0}^{3}e^{x}dx$$ usando
- La regla del punto medio simple.
- La regla del trapecio simple.
- La regla de Simpson simple.
¿Cuál es el error en cada caso?
El valor exacto de la integral es
$$ I =\int_{0}^{3}e^x\,dx = \left(e^x\right)_0^3 = e^3-e^0= 20.0855-1=19.0855$$Veamos los valores obtenidos con las distintas fórmulas de aproximación.
Fórmula del punto medio¶
La fórmula del punto medio es
$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\;f\left( \frac{a+b}{2}\right)$$Usar la fórmula del punto medio para integrar una función en un intervalo, equivale a sustituir, dentro de la integral, la función a integrar por el polinomio de interpolación de grado cero, es decir, una recta horizontal que pasa por el punto medio de la función. Sustituimos la función por una recta e integramos. Estamos entonces calculando el área de un rectángulo.
Esta fórmula es de la forma
$$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \omega_{0}\;f(x_{0}) $$En este caso
$$I = \int_{0}^{3}e^x\,dx\approx (3-0)\,e^{1.5}=3\,(4.4816)=13.4451$$y el error absoluto es
$$Error =\left| I-I_{aprox}\right|=19.0855-13.4451=5.6404$$Fórmula del trapecio¶
La fórmula de los trapecios simple es
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)\; \frac{f\left( a\right) +f\left( b\right)}{2}$$Usar la fórmula de los trapecios para integrar una función en un intervalo, equivale a sustituir, dentro de la integral, la función a integrar por el polinomio de interpolación de grado uno, que pasa por los puntos de la función de los extremos del intervalo. Es decir, sustituimos la función por una recta e integramos. Estamos entonces calculando el área de un trapecio.
Veamos como encaja esta fórmula con la definición inicial
$$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \omega_{0}\;f(x_{0})+\omega_{1}\;f(x_{1}) $$Si escribimos la fórmula en este formato
$$\int_{a}^{b}f(x)\, dx\approx\frac{h}{2}f(a)+\frac{h}{2}f(b)= (b-a)\left(0.5\,f(a)+0.5\,f(b)\right)$$Calculemos la integral pedida
Y el error es
$$Error =\left| I-I_{aprox}\right|=\left|19.0855-31.6283\right|=12.5427$$Regla de Simpson¶
La fórmula de Simpson simple es
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}\left( f\left( a\right) +4f\left( \frac{a+b}{2}\right) +f\left( b\right) \right)$$Usar la fórmula de Simpson para integrar una función en un intervalo, equivale a sustituir, dentro de la integral, la función a integrar por el polinomio de interpolación de grado dos, que pasa por los puntos de la función de los extremos y el punto medio del intervalo. Es decir, sustituimos la función por una parábola e integramos.
Veamos como encaja esta fórmula con la definición inicial
$$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \omega_{0}\;f(x_{0})+\omega_{1}\;f(x_{1}) +\omega_{2}\;f(x_{2}) $$Si escribimos la fórmula en este formato
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6} f\left( a\right) + \frac{4(b-a)}{6}f\left( \frac{a+b}{2}\right) +\frac{b-a}{6}f\left( b\right)$$O también
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)\left(\frac{1}{6} f\left( a\right) + \frac{4}{6}f\left( \frac{a+b}{2}\right) +\frac{1}{6}f\left( b\right)\right)$$Y la integral aproximada es
$$I = \int_{0}^{3}e^xdx\approx \frac{3}{6}( e^0+4e^{1.5}+e^3)= 0.5(1+4.4817+20.0855)=19.5061$$Y el error absoluto es
$$Error =\left| I-I_{aprox}\right|=\left|19.0855-19.5061\right|=0.4206$$