Contenidos

• 1  Ejercicio
  • 1.1  Regla de los trapecios compuesta
  • 1.2  Cota error absoluto
  • 1.3  Número de intervalos

Ejercicio

Dada la integral $$ I=\int_{0}^{1}e^{x}dx, $$

1. Obtener su valor aproximado mediante la regla del trapecio compuesta con dos subintervalos.
2. Acotar el error en valor absoluto.
3. Determinar el número $n$ de subintervalos suficientes para que el error sea menor que $10^{-6}$.

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La integral exacta es

$$ I = \int_{0}^{1}e^{x}\,dx=\left[ e^x\right]_0^1=e^1-e^0=2.7183-1 = 1.7183 $$

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Regla de los trapecios compuesta

La regla del trapecio simple es

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\left( f\left( a\right) +f\left( b\right) \right)$$

Para dos subintervalos

$$h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{2}=0.5$$

Calculemos los nodos

$$\begin{array}{lcl} x_0 & = & a = 0\\ x_1 & = & x_0 + h = 0 + 0.5 = 0.5\\ x_2 & = & x_1 + h = 0.5 + 0.5 = 1 = b \end{array} $$

$$I_{trap} = \int_a^b f(x)\, dx =\int_{x_0}^{x_1} f(x) \,dx+\int_{x_1}^{x_2} f(x) \,dx\approx$$

. $$ \approx\frac{h}{2}\left(f(x_0)+f(x_1)\right)+\frac{h}{2}\left(f(x_1)+f(x_2)\right)=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\right)$$

Si $f(x)=e^x$

$$I_{trap} = \frac{0.5}{2}\left(e^0+2e^{0.5}+e^1\right)=0.25\left(1+2(1.65)+2.72\right)=1.75$$

Y el error es

$$e_a = \left|I-I_{trap}\right|= 1.75-1.72=0.03$$

Cota error absoluto

La fórmula del error de la regla de los trapecios compuesta es

$$E_h^T=\left|\;f^{\prime\prime}(c)\right| (b-a)\frac{h^2}{12} \quad \mathrm{con} \quad h=\frac{b-a}{n}$$

Si $f(x) = e^x$ y $[a,b]=[0,1]$ entonces

$f^{\prime}(x)= e^x \quad \quad \mathrm{y} \quad \quad f^{\prime\prime}(x)= e^x$

$$\left|\;f^{\prime\prime}(c)\right| = e^c \lt e^1 = e \quad c\in (0,1)$$

Por lo tanto

$$ E_h^T = \left|\;f^{\prime\prime}(c)\right| (b-a)\frac{h^2}{12}\lt \frac{e^1}{12}(b-a)h^2 = \frac{e}{12} (1-0) 0.5^2=0.06$$

Y, como era de esperar, la cota de error, $0.06$, es mayor que el error, $0.03$.

Número de intervalos

Para aproximar $I=\int_{0}^{1}e^{x}dx$ con un error menor que $10^{-6}$

Si tomamos el error en valor absoluto

$$E_h^T =\frac{h^2}{12} (b-a)\left|f^{\prime\prime}(c)\right|$$

Si hacemos

$$\frac{h^2}{12} (b-a)\left|f^{\prime\prime}(c)\right| \lt 10^{-6}$$

entonces se verificará que

$$E_h^T \lt 10^{-6}$$

Como

$f^{\prime}(x)= e^x$ y $f^{\prime\prime}(x)= e^x$

$$\left|\;f^{\prime\prime}(c)\right| = e^c \lt e^1 = e \quad c\in (0,1)$$

Por lo tanto

$$ E_h^T = \left|\;f^{\prime\prime}(c)\right| (b-a)\frac{h^2}{12}\lt \frac{e}{12}(b-a)h^2 = \frac{e}{12} (1-0) h^2 \lt 10^{-6}$$

Es decir

$$ \frac{e}{12} h^2 \lt 10^{-6}$$

Como $$ h =\frac{b-a}{n}=\frac{1}{n} $$ se tiene $$ \frac{e}{12}\frac{1}{n^2} \lt 10^{-6}$$

y entonces como

$$a\lt b, 0 \lt c \Longrightarrow ac \lt bc$$

multiplicando ambos miembros de la desigualdad por $n^2$ y $10^6$ tenemos

$$\frac{e}{12}10^6 \lt n^2 $$

Y teniendo en cuenta que si tenemos una función $h$ creciente

$x_1 \lt x_2 \Longrightarrow h(x_1) \lt h(x_2)$ y como la función $h(x)= \sqrt{x}$ es creciente

se tiene que

$$\sqrt{\frac{e}{12}10^6} \lt n $$

o lo que es lo mismo

$$475.94 \lt n$$

Y una condición suficiente para que el error sea menor que $10^{-6}$ es que $n=476$.

De hecho, haciendo un programa que aproxime esta integral con la regla del trapecio compuesta y 476 subintervalos los resultados han sido:

• El valor aproximado es $1.7182824604330484$
• El valor exacto es $\quad \,\,\,\, 1.7182818284590453$
• El error es $6 \times 10^{-7} = 0.6 \times 10^{-6} \lt 10^{-6} $