Fórmula de cuadratura gaussiana con tres nodos:
- Calcular $$\int_{0}^{3}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx$$ usando la fórmula de cuadratura gaussiana con tres nodos:
- ¿Cuál es el grado de precisión de esta fórmula?
Fórmulas de Gauss-Legendre¶
En la fórmula de cuadratura:
$$ \int_{a}^{b}f(x)dx\approx \omega_{0}f(x_{0})+\omega_{1}f(x_{1})+\cdots +\omega_{N}f(x_{N}) $$¿Es posible calcular los pesos $\omega_i$ y los nodos $x_i$ de forma que el grado de precisión de la fórmula sea lo mayor posible? Sí, pero entonces los nodos no estarán equiespaciados y estas fórmulas se llaman de Gauss-Legendre. Los nodos para el intervalo $[-1,1]$ serían los ceros de los llamados Polinomios de Legendre.
Por lo demás, una vez tenemos los nodos la forma de deducir la correspondiente fórmula de cuadratura es la misma que usando nodos equiespaciados: si $P_{N}$ es el polinomio que interpola a $f$ en los nodos de Legendre $x_{0},x_{1},...,x_{N} \in \left[ -1,1\right]$ y
$$ \int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \int_{-1}^{1}P_N(x)\,dx=\omega_{0}\,f(x_{0})+\omega_{1}\,f(x_{1})+\cdots +\omega_{n}\,f(x_{N}) $$Esta fórmula se puede adaptar facilmente para otro intervalo $[a,b].$
Para $[-1,1]$ los pesos y nodos son
Así, por ejemplo
Fórmula gaussiana de un nodo
$$ \int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx 2\;f(0) $$
Fórmula gaussiana de dos nodos
$$ \int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx f(-0.5774)+f(0.5774) $$
Fórmula gaussiana de tres nodos
$$ \int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx 0.5556\;f(-0.7746)+0.8889\;f(0)+ 0.5556\;f(0.7746) $$
Y así sucesivamente.
Estos resultados se pueden generalizar a cualquier intervalo $[a,b]$ cambiando los $x_i$ por $y_i$ de acuerdo con la fórmula
$$y_i=\frac{b-a}{2}x_i+\frac{a+b}{2}$$Y entonces la fórmula de cuadratura es
$$ \int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b-a}{2}\left( \omega_{0}\;f(y_{0})+\omega_{1}\;f(y_{1})+\cdots +\omega_{n}\;f(y_{n})\right) $$Calcular la integral¶
Calcular $$\int_{0}^{3}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx$$ usando la fórmula de cuadratura gaussiana con tres nodos:
$$\int_{-1}^{1}f(x)\:dx\approx\frac{5}{9}\,f\left(-\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right)+\frac{8}{9}\,f\left(0\right)+\frac{5}{9}\,f\left(\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right)$$Queremos hacer un cambio de variable que nos lleve del intervalo $[0,3]$ al intervalo donde está definida la fórmula de cuadratura gaussiana $[-1,1]$.
Si hacemos un cambio de variable lineal de la forma
$$x = m\,t +n,$$si $x = 0$, entonces $t = -1$ y
$$0 = -m+n.$$Y si $x = 3$, entonces $t = 1$ y
$$3 = m+n.$$Sumando estas dos últimas ecuaciones
$$3 = 2n \quad \fbox{$n = \dfrac{3}{2}$}$$.
Si cambiamos de signo a la primera
$$0 = m-n \quad 3 = m+n$$Y sumándolas
$$3 = 2m \quad \fbox{$m = \dfrac{3}{2}$}$$Y la solución a este sistema es
$$m = \frac{3}{2}\quad n = \frac{3}{2}$$Y por lo tanto, el cambio de variable es
$$x=\frac{3}{2}\,t+\frac{3}{2}\qquad dx=\frac{3}{2}dt.$$La fórmula de cuadratura era
$$\int_{-1}^{1}f(x)\:dx\approx\frac{5}{9}\,f\left(-\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right)+\frac{8}{9}\,f\left(0\right)+\frac{5}{9}\,f\left(\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right)$$Y como hemos hecho el cambio de forma que el intervalo $[0,3]$ se transforme en el intervalo $[-1,1]$
. $$\approx\frac{3}{2}\left[\frac{5}{9}\,f\left(-\frac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{5}}+\frac{3}{2}\right)+\frac{8}{9}\,f\left(\frac{3}{2}\right)+\frac{5}{9}\,f\left(\frac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{5}}+\frac{3}{2}\right)\right]= $$
. $$ =\frac{3}{2}\left[\frac{5}{9}\,f(0.3381)+\frac{8}{9}\,f(1.5)+\frac{5}{9}\,f(2.6619)\right]=$$
teniendo en cuenta que $f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ . $$=\frac{3}{2}\left[\frac{5}{9}\,(0.9444)+\frac{8}{9}\,(0.3246)+\frac{5}{9}\,(0.02893)\right]=1.24402 $$
De hecho
Ie = 1.24993044474155Ia = 1.24401686205204Error = 0.00591358268951
Grado de precisión de la fórmula¶
Las fórmulas gaussianas elijen los nodos de forma que se maximice la precisión de la fórmula.
En general, una cuadratura de Gauss-Legendre de $n$ puntos será exacta para funciones polinomiales de grado menor o igual que $2n-1$. Por lo tanto, con un nodo la precisión es $1$, con dos nodos la precisión es $3$ y con tres nodos la precisión es $5$.
Si comparamos las fórmulas gaussianas con las fórmulas de Newton-Cotes con los mismos nodos