Contenidos

• 1  Introducción
  • 1.1  Sistemas lineales
  • 1.2  Métodos de resolución de sistemas lineales
  • 1.3  Método de Gauss
• 2  Ejercicio
  • 2.1  Triangularización
  • 2.2  Sustitución regresiva

Introducción

Sistemas lineales

En este tema vamos a resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas con matriz de coeficientes no singular. Por lo tanto, el sistema tiene solución única.

Dados los números $a_{ij}$ y $b_{j}$ para $i,j=1,2,\ldots,n$ se trata de hallar los números $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ que verifican las $n$ ecuaciones lineales

$$ \begin{array}{cll} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots+a_{1n}x_{n} & = & b_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots+a_{2n}x_{n} & = & b_{2},\\ \vdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots+a_{nn}x_{n} & = & b_{n}. \end{array} $$

El sistema, expresado matricialmente, se escribiría

$$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array}\right) $$

es decir

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$

Métodos de resolución de sistemas lineales

Los métodos pueden ser:

Métodos directos

• La solución se calcula en un número finito de pasos conocidos a priori.
• Sólo están sujetos a errores de redondeo.
• Son adecuados para resolver:
  • Sistemas pequeños.
  • Sistemas grandes con matriz llena. Veremos los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y factorización LU.

Métodos iterativos

• Construyen una sucesión que converge a la solución del sistema.
• Además de los errores de redondeo, existe un error de truncamiento. Veremos los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.

Método de Gauss

El método de Gauss consta de dos pasos:

1. Triangularización. Transformación del sistema de ecuaciones lineales original en un sistema de matriz triangular superior con las mismas soluciones. Para ello se realizan las operaciones:
   • Multiplicar una fila por un real y sumárserla a otra: $f_{i}\rightarrow f_{i}+\lambda f_{j},\quad j\neq i$
   • Intercambiar filas: $f_{i}\leftrightarrow f_{j}$ (si usamos la estrategia del pivote)
2. Sustitución regresiva. Resolución del sistema triangular superior mediante el algoritmo de sustitución regresiva. Consiste en despejar las incógnitas empezando por la última, siguiendo con la penúltima y siguiendo así hasta despejar la primera incógnita.

Ejercicio

Sea el sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ donde

$\require{xcolor}$

$$ A=\left(\begin{array}{crc} 1 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} -2\\ -1\\ -3 \end{array}\right) $$

Calcular $\mathbf{x}$ utilizando Gauss.

---

Queremos resolver el sistema

$$ \begin{array}{rrrrrrr} x & + & y & + & 3z & = & -2\\ 3x & & & +& z & = & -1\\ x & -& 2y &+& z & = & -3 \end{array} $$

Triangularización

Construímos la matriz extendida del sistema, que es la matriz $A$ a la que se le ha añadido la matriz columna $\mathbf{b}$ como cuarta columna.

El pivote es siempre un elemento de la diagonal principal. El primer pivote está en la primera fila y por tanto, en la primera columna.

Hacemos ceros por debajo del pivote, $\mathbf{{\color{red}1}},$ en la primera columna. Para ello:

• La fila del pivote es la primera fila. Y el pivote es ahora ${\color{red}{a_{11}}}.$
• La fila del pivote se deja como está.
• A las demás filas se les suma la fila del pivote con un factor que se construye con el pivote en el denominador y el elemento de debajo del pivote en el numerador ($\mathbf{\color{blue}3}$ para la fila $2$ y $\mathbf{\color{ForestGreen}1}$ para la fila $3$).

$$ \begin{array}{c} f_{1}\\[5pt] f_{2}\\[10pt] f_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|r} \mathbf{{\color{red}1}} & 1 & 3 & -2\\[5pt] \mathbf{\color{blue}3} & 0 & 1 & -1\\[10pt] \mathbf{\color{ForestGreen}1} & -2 & 1 & -3 \end{array}\right)\begin{array}{rrl} f'_{1} & = & f_{1}\\ f'_{2} & = & f_{2}-\dfrac{\mathbf{\color{blue}3}}{\mathbf{{\color{red}1}}}f_{1}\\ f'_{3} & = & f_{3}-\dfrac{\mathbf{\color{ForestGreen}1}}{\mathbf{{\color{red}1}}}f_{1} \end{array} $$

Hacemos ceros por debajo del pivote $\mathbf{{\color{red}{-3}}}$ en la segunda columna. Para ello:

• La fila del pivote es la segunda fila. Y el pivote es ahora ${\color{red}{a_{22}}}.$
• La fila del pivote y las filas por encima del pivote se dejan como están.
• A la fila restante se le suma la fila del pivote con un factor que se construye con el pivote en el denominador y el elemento de debajo del pivote en el numerador, $\mathbf{\color{blue}{-3}}$.

$$ \begin{array}{c} f'_{1}\\[5pt] f'_{2}\\[5pt] f'_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 3 & -2\\[5pt] 0 & \mathbf{{\color{red}{-3}}} & -8 & 5\\[5pt] 0 & \mathbf{\color{blue}{-3}} & -2 & -1 \end{array}\right)\begin{array}{rrl} f''_{1} & = & f'_{1}\\[5pt] f''_{2} & = & f'_{2}\\ f''_{3} & = & f_{3}-\dfrac{\mathbf{\color{blue}{-3}}}{\mathbf{{\color{red}{-3}}}}f'_{2} \end{array} $$

Y ya tenemos una matriz triangular superior (con ceros por debajo de la diagonal principal).

$$ \begin{array}{c} f''_{1}\\ f''_{2}\\ f''_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 3 & -2\\ 0 & -3 & -8 & 5\\ 0 & 0 & 6 & -6 \end{array}\right) $$

Sustitución regresiva

Vamos a revertir a la notación del sistema con ecuaciones. El sistema triangular se escribe

$$ \begin{array}{rrrrrrr} & x & + & y & + & 3z & = & -2\\ & & - & 3y & - & 8z & = & 5\\ & & & & & 6z & = & -6 \end{array} $$

Despejando $z$ en la tercera ecuación

$$z = -1$$

Despejando $y$ en la segunda ecuación

$$y =\frac{5+8z}{-3}=\frac{5-8}{-3}=1$$

Y $x$ en la primera

$$x = -2-y-3z = -2-1+3=0$$

tenemos la solución del sistema

$$\fbox{ $x = 0 \quad y = 1 \quad z = -1$}$$