Sea el sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ donde
$$ A=\left(\begin{array}{crc} 1 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} -2\\ -1\\ -3 \end{array}\right) $$Calcular $\mathbf{x}$ usando Gauss con pivote parcial.
Introducción¶
La estrategia del pivote¶
Consiste en
- Intercambiar filas: pivote parcial.
- Intercambiar filas y columnas: pivote total.
Problemas de no usar la estrategia del pivote
- Puede que en algún paso nuestro pivote sea cero. Y como el pivote es el divisor en los factores que construímos en cada paso, no podríamos continuar.
- Como consecuencia de lo anterior, Gauss sin estrategia del pivote no funciona siempre con sistemas determinados.
- Si dividimos números muy diferentes entre si, con un denominados comparativamente pequeño, podemos tener problemas con el error.
Los beneficios de usar la estrategia del pivote son:
- Evitar ceros en la posición del pivote.
- Evitar valores comparativamente pequeños en el denominador, que son perjudiciales desde el punto de vista numérico.
Ejercicio¶
Triangularización¶
Construímos la matriz extendida del sistema.
De todos los elementos por debajo del pivote $\mathbf{{\color{red}1}}$, nos quedamos con el que es mayor, en este caso $\mathbf{3}$. Intercambiamos esta fila con la del pivote.
$$ \begin{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\\ f_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|r} \mathbf{{\color{red}1}} & 1 & 3 & -2\\ \mathbf{3} & 0 & 1 & -1\\ \mathbf{1} & -2 & 1 & -3 \end{array}\right) \begin{array}{l} f'_{1} & = & f_{3}\\ f'_{2} & = & f_{1}\\ & & \end{array} $$Hacemos ceros por debajo del pivote $\mathbf{{\color{red}{3}}}$ realizando operaciones por filas. Sumamos a cada fila, la fila del pivote multiplicada por un factor que tiene como denominador el pivote, y como numerador el elemento de la fila que está debajo del pivote por $-1.$
$$ \begin{array}{c} f'_{1}\\[5pt] f'_{2}\\[10pt] f'_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|r} \mathbf{{\color{red}3}} & 0 & 1 & -1 \\[5pt] \mathbf{\color{blue}1}& 1 & 3 & -2\\[10pt] \mathbf{\color{ForestGreen}1} & -2 & 1 & -3 \end{array}\right)\begin{array}{rrl} f''_{1} & = & f'_{1}\\ f''_{2} & = & f'_{2}-\dfrac{\mathbf{\color{blue}1}}{\mathbf{{\color{red}3}}}f'_{1}\\ f''_{3} & = & f'_{3}-\dfrac{\mathbf{\color{ForestGreen}1}}{\mathbf{{\color{red}3}}}f'_{1} \end{array} $$Escogemos el pivote entre los elementos debajo del pivote $\mathbf{{\color{red}{1}}}$ en la segunda columna. Nos quedamos con el mayor en valor absoluto $\mathbf{-2}$ e intercambiamos la del nuevo pivote por la del pivote.
$$ \begin{array}{c} f''_{1}\\ f''_{2}\\ f''_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 0 & 1 & -1\\ 0 & \mathbf{{\color{red}{1}}} & \frac{8}{3} & -\frac{5}{3}\\ 0 & \mathbf{-2} & \frac{2}{3} & -\frac{8}{3} \end{array}\right) \begin{array}{l} & &\\ f'''_{2} & = & f''_{3}\\ f'''_{3} & = & f''_{2}\\ \end{array} $$Hacemos ceros por debajo del nuevo pivote
$$ \begin{array}{c} f'''_{1}\\ f'''_{2}\\[5pt] f'''_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 0 & 1 & -1\\[5pt] 0 & \mathbf{{\color{red}{-2}}} & \frac{2}{3} & -\frac{8}{3}\\[5pt] 0 & \mathbf{\color{blue}1}& \frac{8}{3} & -\frac{5}{3} \end{array}\right)\begin{array}{rrl} f''''_{1} & = & f'''_{1}\\ f''''_{2} & = & f'''_{2}\\ f''''_{3} & = & f'''_{3}-\dfrac{\mathbf{\color{blue}{+1}}}{\mathbf{{\color{red}{-2}}}}f'''_{2} \end{array} $$Y ya tenemos una matriz triangular superior (con ceros por debajo de la diagonal principal).
$$ \begin{array}{c} f''''_{1}\\ f''''_{2}\\ f''''_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 0 & 1 & -1\\ 0 & -2 & \frac{2}{3} & -\frac{8}{3}\\ 0 & 0 & 3 & -3 \end{array}\right) $$Sustitución reversiva¶
Volviendo a la notación del sistema con ecuaciones. El sistema triangular se escribe
$$ \begin{array}{rrrrrrr} & 3x & & & + & z & = & -1\\ & & - & 2y & + & (2/3)\,z & = & -8/3\\ & & & & & 3z & = & -3 \end{array} $$De la última ecuación despejamos $z$ $$z = -1$$
De la segunda $y$
$$y =\frac{-8/3-2/3\,z}{-2}=\frac{-8/3+2/3}{-2}=\frac{-6/3}{-2}=1 $$Y de la primera $x$
$$x = \frac{-1-z}{3}=\frac{-1-(-1)}{3}=0$$Y la solución del sistema es
$$ \fbox{$x = 0 \quad y = 1 \quad z = -1$} $$