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Sea la matriz

$$ A=\left(\begin{array}{crc} 1 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) $$

Calcular la matriz inversa de $A$ utilizando Gauss-Jordan.

Introducción

El método de Gauss-Jordan

Como el método de Gauss, el método de Gauss-Jordan realiza las operaciones por fila

  • Multiplicar una fila por un real y sumárserla a otra: $f_{i}\rightarrow f_{i}+\lambda f_{j},\quad j\neq i$
  • Intercambiar filas: $f_{i}\leftrightarrow f_{j}$ (si usamos la estrategia del pivote).

Y además realiza la operación por fila

  • Multiplicar o dividir una fila por un real: $f_{i}\rightarrow \lambda f_{i} \quad \lambda \ne 0$

El método es parecido al de Gauss pero en cada paso no se hacen ceros por debajo del pivote sino por encima y por debajo del pivote.

Ahora el objetivo es pasar de un sistema cualquiera a un sistema diagonal (elementos distintos de cero solo en la diagonal) equivalente, que nos dé directamente la solución. Por ejemplo, el sistema diagonal equivalente

$$ \left(\begin{array}{crc} 1 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2\\ -1\\ -3 \end{array}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad \left(\begin{array}{crc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right) $$

Y la solución es inmediata y es $$ x = 0 \quad y = 1 \quad z = -1 $$

Para resolver un solo sistema es más rentable, desde el punto de vista del número de operaciones, el método de Gauss. Pero cuando se resuelven simultáneamente varios sistemas con la misma matriz de coeficientes es más rentable Gauss-Jordan. Y este es el caso del cálculo de la matriz inversa.

Cálculo de la matriz inversa

La matriz inversa de una matriz $A$ $n\times n$, caso de existir, es una matriz $n\times n$ que llamaremos $A^{-1}$ que verifica

$$AA^{-1}=I=A^{-1}A.$$

Es decir

$$ A\,A^{-1}= \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array}\right)=I $$

Por la definición del producto de matrices, podemos escribir

$$ A \left(\begin{array}{c} c_{11} \\ c_{21} \\ \vdots \\ c_{n1} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right), \quad A \left(\begin{array}{c} c_{12} \\ c_{22} \\ \vdots \\ c_{n2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right), \quad\dots\quad, A \left(\begin{array}{c} c_{1n} \\ c_{2n} \\ \vdots \\ c_{nn} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right) $$

Es decir, las columnas de la matriz inversa son las soluciones de estos $n$ sistemas lineales que comparten matriz de coeficientes. Por lo tanto, si planteamos simultáneamente todos estos sistema y escribimos la matriz aumentada

$$\left(\begin{array}{cccc|cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} &0 & 0 & \ldots & 1 \end{array}\right)$$

Y hacemos transformaciones por filas de forma que la matriz equivalente sea la matriz diagonal identidad, las soluciones serán las columnas de la matriz inversa

$$\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 & c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \end{array}\right)$$

Es decir, podemos resumir el proceso como

  • Escribir una matriz $n\times2n$ que consiste en la matriz dada $A$ a la izquierda y la matriz identidad $I$ de dimensión $n\times n$ a la derecha $\left[A|I\right]$.
  • Mediante operaciones por filas, transformar la matriz $A$ en la matriz $I$, de forma que obenemos a partir de $\left[A|I\right]$ obtenemos $\left[I|A^{-1}\right].$

Ejercicio

Escribimos la matriz $\left[A|I\right]$. Como el pivote es $\mathbf{{\color{red}1}}$ lo dejamos como está. Hacemos ceros por debajo del pivote en la primera columna.

$$ \begin{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\\ f_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|rrr} {\mathbf{{\color{red}1}}} & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\ \mathbf{\color{blue}3} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ \mathbf{\color{ForestGreen}1} & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{rrl} f_{1}\\ f_{2} & = & f_{2}-\mathbf{\color{blue}3}f_{1}\\ f_3 & = & f_{3}-\mathbf{\color{ForestGreen}1}f_{1} \end{array} $$

Ahora el pivote es $\mathbf{{\color{red}{-3}}}$ y para convertirlo a $1$ dividimos la fila por su valor.

$$ \begin{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\\ f_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & \mathbf{\color{blue}1} & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & \mathbf{\color{red}{-3}} & -8 & -3 & 1 & 0\\ 0 & \mathbf{\color{ForestGreen}{-3}} & -2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{rrl} & &\\ f_{2} & = & f_{2}/(\mathbf{\color{red}{-3}})\\ & & \end{array} $$

Hacemos ceros por encima y por debajo del pivote $\mathbf{{\color{red}{1}}}$.

$$ \begin{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\\ f_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & \mathbf{\color{blue}1} & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & \mathbf{\color{red}{1}} & 8/3 & 1 & -1/3 & 0\\ 0 & \mathbf{\color{ForestGreen}{-3}} & -2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{rrl} f_{1} & = & f_{1}-\mathbf{\color{blue}1}f_{2}\\ f_{2}\\ f_3 & = & f_{3}-(\mathbf{\color{ForestGreen}{-3}})f_{2} \end{array} $$

Ahora el pivote es $\mathbf{{\color{red}{6}}}$ y para convertirlo a $1$ dividimos la fila por su valor.

$$ \begin{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\\ f_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & \mathbf{\color{blue}{1/3}} & 0 & 1/3 & 0\\ 0 & 1 & \mathbf{\color{ForestGreen}{8/3}} & 1 & -1/3 & 0\\ 0 & 0 & \mathbf{\color{red}6} & 2 & -1 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{rrl} & &\\ & &\\ f_{3} & = & f_{3}/(\mathbf{\color{red}{6}}) \end{array} $$

Hacemos ceros por encima del pivote $\mathbf{{\color{red}{1}}}$.

$$ \begin{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\\ f_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & \mathbf{\color{blue}{1/3}} & 0 & 1/3 & 0\\ 0 & 1 & \mathbf{\color{ForestGreen}{8/3}} & 1 & -1/3 & 0\\ 0 & 0 & \mathbf{\color{red}1} & 1/3 & -1/6 & 1/6 \end{array}\right) \begin{array}{rrl} f_{1} & = & f_{1}-(\mathbf{\color{blue}{1/3}})\,f_{3}\\ f_{2}& = & f_{2}-(\mathbf{\color{ForestGreen}{8/3}})\,f_{3}\\ f_3 \end{array} $$

Y ya tenemos la matriz identidad $I$ a la izquierda

$$ \begin{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\\ f_{3} \end{array}\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1/9 & 7/18 & -1/18\\ 0 & 1 & 0 & 1/9 & 1/9 & -4/9\\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & -1/6 & 1/6 \end{array}\right) $$

Como a la izquierda ya tenemos la matriz $I$ la matriz de la derecha será $A^{-1}$.

$$ A^{-1} = \left(\begin{array}{rrr} -1/9 & 7/18 & -1/18\\ 1/9 & 1/9 & -4/9\\ 1/3 & -1/6 & 1/6 \end{array}\right) $$