Sea el sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ donde
$$ A=\left(\begin{array}{crc} 0 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} -2\\ -1\\ -3 \end{array}\right) $$Calcular $\mathbf{x}$ utilizando la factorización $LU$ con pivote parcial.
En el método de $LU$ sucede como en Gauss: no es totalmente funcional si no aplicamos la estrategia del pivote.
Para ir guardando las permutaciones de filas se usa la llamada matriz de permutaciones $P$ que inicialmente es la matriz identidad y que se modifica cada vez que hay un intercambio de filas.
Los pasos son
- Factorización: $PA=LU$
- Sustitución progresiva: $PAx=Pb \Longrightarrow LUx=Pb \Longrightarrow Ly = Pb$. Resolvemos $Ly=Pb$.
- Sustitución regresiva: Resolvemos $Ux=y$.
Factorización PA=LU¶
Las matrices $A$ y $P$ serán inicialmente
$$ A=\left(\begin{array}{crc} \mathbf{0} & 1 & 3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \qquad P_{0}=\left(\begin{array}{crr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$Aplicamos la estrategia del pivote: en el primer paso buscamos el elemento de mayor valor absoluto por debajo del pivote $a_{11}$. Este resulta ser $a_{21}$ por lo que intercambiamos las filas 2 y 1 tanto en $P$ como en $A.$
$$ A_{1}=\left(\begin{array}{rrr} \mathbf{3} & 0 & 1\\ 0 & 1 & 3\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\qquad P_{1}=\left(\begin{array}{crr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$Ahora, hacemos ceros por debajo del elemento $a_{11}$ restando la primera fila multiplicada por el real construído con el pivote ($a_{11}$) en el denominador y el elemento de esa fila por debajo del pivote ($a_{21}$ y $a_{31}$ respectivamente) en el numerador.
Los multiplicadores, que aparecen en recuadros, son los elementos con los que construímos la matriz $L$. Los insertamos en la matriz, en lugar de los ceros creados. La matriz transformada es
$$ \left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 1\\ \color{red}{\fbox{0}} & \mathbf{1} & 3\\ \color{blue}{\fbox{1/3}} & -2 & 2/3 \end{array}\right) $$Volvemos a aplicar la estrategia del pivote: buscamos el elemento de mayor valor absoluto por debajo del pivote $a_{22}$. Este resulta ser $a_{32}$ por lo que intercambiamos las filas 2 y 3 en $P$, $A$ y $L$.
$$ \left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 1\\ \color{blue}{\fbox{1/3}} & \mathbf{-2} & 2/3\\ \color{red}{\fbox{0}} & 1 & 3 \end{array}\right)\qquad P_{2}=\left(\begin{array}{crr} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$Ahora, hacemos ceros por debajo del elemento $a_{22}$ restando la segunda fila multiplicada por el real construído con el pivote ($a_{22}$) en el denominador y el elemento de esa fila por debajo del pivote ($a_{32}$) en el numerador.
$$ \left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 1\\ \color{blue}{\fbox{1/3}} & \mathbf{-2} & 2/3\\ \color{red}{\fbox{0}} & 1 & 3 \end{array}\right)\quad\begin{array}{lclcrr} f_{1} & \rightarrow & f_{1}\\ f_{2} & \rightarrow & f_{2}\\ f_{3} & \rightarrow & f_{3} & - & \color{ForestGreen}{\fbox{$1/(-2)$}} & f_{2} \end{array} $$Llegamos a la matriz que almacena simultáneamente $L$ y $U$.
$$ \left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 1\\ \color{blue}{\fbox{1/3}} & -2 & 2/3\\ \color{red}{\fbox{0}} & \color{ForestGreen}{\fbox{$-1/2$}} & 10/3 \end{array}\right) $$Y las matrices $L$, $U$ y $P$ son:
$$ L = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ \color{blue}{\fbox{1/3}} & 1 & 0\\ \color{red}{\fbox{0}} & \color{ForestGreen}{\fbox{$-1/2$}} & 1 \end{array}\right) \quad U=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 2/3\\ 0 & 0 & 10/3 \end{array}\right) \qquad P_{2}=\left(\begin{array}{crr} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$Y por lo tanto $\mathbf{b}$ y $P\,\mathbf{b}$ son
$$ \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} -2\\ -1\\ -3 \end{array}\right) \qquad P\,\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} -1\\ -3\\ -2 \end{array}\right) $$Sustitución progresiva Ly = Pb¶
De la primera ecuación $$ y_1 = -1$$ De la segunda $$ y_2 = -3 -(1/3) y_1= -3 -(1/3)(-1) = -8/3$$ Y de la tercera $$ y_3 = -2+(1/2)y_2=-2+(1/2)(-8/3)=-10/3$$ Es decir $$ y_1 = -1 \quad y_2 = -8/3 \quad y_3 = -10/3$$
Sustitución regresiva Ux = y¶
De la tercera ecuación $$ x_3 = -1$$ De la segunda $$ x_2 = \frac{-(8/3) -(2/3) x_3}{-2} = \frac{-(8/3) -(2/3) (-1)}{-2} = 1$$ Y de la primera $$ x_1 = \frac{-1-x_3}{3}=\frac{-1-(-1)}{3} =0$$ Es decir $$ x_1 = 0 \quad x_2 = 1 \quad x_3 = -1$$