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• 1  Cálculo del determinante

Cálculo del determinante

Calcular los determinantes de las matrices

$$ A=\left(\begin{array}{crc} 1 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \quad A_1=\left(\begin{array}{crc} 0 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) $$

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Teniendo en cuenta las siguientes propiedades de los determinantes:

1. Al intercambiar dos filas en una matriz, el determinante queda multiplicado por $-1$.
2. Al dividir una fila por una constante distinta de cero el determinante de la matriz queda dividido por ese valor.
3. Si multiplicamos una fila por un real no nulo y la sumamos a otra el valor del determinante no cambia.
4. El valor del determinante de una matriz triangular o diagonal es el producto de los elementos de la diagonal.

Método de Gauss

En este caso, a partir de $A$, hemos llegado a la matriz

$$ \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -8\\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right) $$

utilizando filas sumadas a otras (propiedad 3) por lo que sólo nos resta multiplicar los elementos de la diagonal (propiedad 4) y $$\left|A\right|=(1)\times (-3)\times (6) = -18.$$

Método de Gauss con pivote parcial

En este caso, a partir de $A$, hemos llegado a la matriz

$$ \left(\begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & \frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) $$

Ahora, además de operaciones por filas, hemos intercambiado filas dos veces. Cada vez que intercambiamos filas el determinante de la matriz se multiplica por $-1$ (propiedad 1). Por lo tanto tendremos que añadir al producto de los elementos de la diagonal $(-1)\times (-1)$ y $$\left|A\right|=(-1)\times (-1)\times(3)\times (-2)\times (3) = -18.$$

Método de Gauss-Jordan

La matriz final es la matriz identidad y hemos realizado operaciones por filas y hemos dividido las filas por el pivote. Por lo tanto hemos de multiplicar los factores por los que hemos dividido cada fila (propiedad 2) y

$$\left|A\right|=(1)\times (-3)\times(6)= -18.$$

Factorización LU (con o sin pivote)

Como la matriz $U$ es la misma que la obtenida por Gauss (con o sin pivote respectivamente), el determinante se obtendría a partir de esta matriz como en el método de Gauss.

Partiendo de la matriz $A_1$ llegamos a la matriz $U$

$$ \left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 1\\ 0& -2 & 2/3\\ 0& 0& 10/3 \end{array}\right) $$

Y como hemos intercambiado filas 2 veces, el determinate es

$$\left|A_1\right|=(-1)\times (-1)\times(3)\times (-2)\times (10/3) = -20.$$

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Triangulación por Gauss y factorización LU son, si solo realizamos este primer paso, lo mismo.

En el caso de Gauss-Jordan, Gauss es un método más económico si sólo queremos calcular el determinante.

El método más adecuado para el cálculo del determinante sería Gauss con pivote parcial, porque existen matrices con determinantes distintos de cero donde el proceso por Gauss se puede atascar porque aparece un cero en la posición del pivote. Esto no sería inconveniente en Gauss con pivote parcial, porque intercambiaríamos la fila por otra donde el pivote no fuera cero. Y si esto no es posible, quiere decir que el determinante de la matriz es cero y problema solucionado.