Contenidos

• 1  Analíticamente: con multiplicadores de Lagrange
• 2  Numéricamente: función de penalización

Mínimo local con restricciones de igualdad. Cálculo simbólico y numérico

Minimizar la función $f(x,y)=-y$ sujeta a la condición $x^{2}+y^{2}=1$.

---

Analíticamente: con multiplicadores de Lagrange

Plot interactivo

Construímos la función Lagrangiana $$ L(x,y,\lambda)= f(x,y) + \lambda\,g(x,y) $$

que en este caso es

$$ L(x,y,\lambda)=-y + \lambda\,(x^2+y^2-1) $$

y al calcular el gradiente de $L$ e igualarlo a cero

$$ \begin{align} L^{\prime}_{x}&=&2x\lambda&=&0 \\ L^{\prime}_{y}&=&-1+2y\lambda&=&0 \\ L^{\prime}_{\lambda}&=&x^2+y^2-1&=&0 \end{align} $$

Como $\lambda \ne 0$ de la primera ecuación obtenemos $x=0$. Sustituyendo este valor de $x$ en la tercera ecuación tenemos que $y = \pm 1$ y sustituyendo estos valores en la segunda ecuación obtenemos los valores correspondientes de $\lambda.$ Tenemos dos soluciones

$$ x = 0 \quad y = -1 \quad \lambda = -\frac{1}{2} \qquad \mathrm{y} \qquad x = 0 \quad y = 1 \quad \lambda = \frac{1}{2} $$

Para investigar si este punto es un máximo o un mínimo utilizaremos utilizando el determinante de la matriz hessiana del Lagrangiano $L(x,y,\lambda)$ calculado en el punto crítico.

• Si es negativo, el punto es un mínimo.
• Si es positivo, el punto es un máximo.

La matriz hessiana del lagrangiano es

$$ H_{L}= \left( \begin{array}{ccc} L^{\prime\prime}_{xx} & L^{\prime\prime}_{xy} & L^{\prime\prime}_{x\lambda}\\ L^{\prime\prime}_{yx} & L^{\prime\prime}_{yy} & L^{\prime\prime}_{y\lambda}\\ L^{\prime\prime}_{\lambda x} & L^{\prime\prime}_{\lambda y} & L^{\prime\prime}_{\lambda\lambda}\\ \end{array} \right) $$

que es

$$ H_{L} = \left( \begin{array}{rrc} 2\lambda & 0 & 2x\\ 0 & 2\lambda & 2y\\ 2x & 2y & 0\\ \end{array} \right). $$

Para

$$ x = 0 \quad y = -1 \quad \lambda = -\frac{1}{2} \qquad H_{L} = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 0 & -2 & 0\\ \end{array}\right) \qquad \det(H_{L})=4 \gt 0 $$

y es un máximo.

Para

$$ x = 0 \quad y = 1 \quad \lambda = \frac{1}{2} \qquad H_{L} = \left(\begin{array}{rrc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ \end{array}\right) \qquad \det(H_{L})=-4 \lt 0 $$

y es un mínimo.

Numéricamente: función de penalización

La idea del método de penalización es reemplazar la función objetivo $f$ por otra función

$$F(x,y)=f(x,y)+c\,P(x,y)$$

y resolver el problema sin restricciones. Para ello tomamos $c$ como una constante positiva y $P$ satisfaciendo:

• $P$ es continua en el dominio de $f$.

• $P(x,y)\geq 0$ para todo punto del domino de $f$, y

• $P(x,y)=0$ si y solo si el punto $(x,y)$ satisface las restricciones.

Una posible función para aproximar el mínimo con restricciones sería

$$ F(x,y) = -y + 10\,(x^2+y^2-1)^2$$