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Máximo y mínimo con restricciones de desigualdad. Cálculo simbólico y numérico

Calcular el máximo y el mínimo de la función

$$f(x,y)=x^2-2y^2$$

sujeta a las restricción $x^2+y^2 \leq 4$.

Analíticamente

El teorema de Weierstrass dice que si $$f: A \in \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$$ es continua en un conjunto compacto, es decir, cerrado y acotado, entonces $f$ alcanza un máximo y un mínimo absolutos en dicho conjunto. Este es el caso de este ejercicio.

El límite de la zona viene dada por la ecuación $x^2+y^2=4$ que es la circunferencia centrada en el origen de radio 2

La circunferencia divide el plano en tres zonas:

  • $x^2+y^2 \lt 4$ es la zona interior, es decir, el círculo. Por ejemplo, el punto $(0,0)$ cumple esta condición.
  • $x^2+y^2 = 4$ es la circunferencia.
  • $x^2+y^2 \gt 4$ es la parte del plano exterior a la circunferencia.

Por lo tanto, la zona dentro de la que buscamos los máximos y minimos es el círculo contenido dentro de la circunferencia y la circunferencia misma, que es el borde de la zona.

Plot interactivo

Para buscar máximos y mínimos

  1. Buscamos extremos locales.
  2. Buscamos extremos en las fronteras.
  3. Añadimos los puntos de intersección de las fronteras (si hace falta)
  4. Consideramos el valor de la función en todos los puntos anteriores, y el punto para el cual la función tenga el mayor y menor valor y así tendremos los valores máximo y mínimo.

Buscamos posibles extremos locales

La condición necesaria de extremo para un punto $\left(x_{m},y_{m}\right)$ es que $\nabla f\left(x_{m},y_{m}\right)=\left(f^{\prime}_{x},f^{\prime}_{y}\right)=\left(0,0\right)$. Es decir para

$$ f(x,y)=x^2-2y^2 $$

se tiene que

$$ \begin{cases} f^{\prime}_{x}=0\\ f^{\prime}_{y}=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x=0\\ -4y=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x=0\\ y=0 \end{cases} $$

Y ya tenemos un punto a considerar (en rojo en el dibujo)

$$\fbox{(0,0)}$$

Buscamos extremos en las fronteras

Función $f(x,y)=x^2-2y^2$ y restricción $x^2+y^2-4 \le 0$.

Entonces la función Lagrangiana es $L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$

$$ L(x,y,\lambda)= x^2-2y^2 +\lambda (x^2+y^2-4) $$

Calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero

$$ \begin{array}{l} L'_x = 2x +2\lambda x=0\\ L'_y = -4y +2\lambda y =0 \\ L'_{\lambda} = x^2+y^2-4 = 0 \end{array} \quad \begin{array}{l} \rightarrow\\ \rightarrow \\ \rightarrow \end{array} \quad \begin{array}{l} x\,(2 +2\lambda)=0\\ y\,(-4 +2\lambda)=0 \\ x^2+y^2-4 = 0 \end{array} \quad \begin{array}{l} \rightarrow\\ \rightarrow \\ \rightarrow \end{array} \quad \begin{array}{l} x=0\quad \mathrm{o}\quad 2 +2\lambda=0\\ y=0\quad\mathrm{o}\quad-4 +2\lambda=0 \\ x^2+y^2-4 = 0 \end{array} $$

Por lo tanto $$ \begin{array}{l} x=0\quad \mathrm{o}\quad \lambda=-1 \\ y=0\quad\mathrm{o}\quad \lambda=2\\ x^2+y^2-4 = 0 \end{array} $$ Y se tienen que cumplir las tres condiciones a la vez

  • Si tomamos $x=0$ de la primera ecuación y lo llevamos a la tercera, tenemos $0^2+y^2-4=0$, es decir, $y = \pm 2.$ Ahora vamos a la segunda ecuación, que es la única que no hemos utilizado. Cómo no se cumple la condición $y=0$ se tendrá que cumplir $\lambda=2.$ (El valor de $\lambda$ no lo necesitamos en este ejercicio. Pero si quisiéramos valorar con el criterio de la matriz Hessiana si el punto es máximo o mínimo, lo necesitaríamos). Así que de aquí sacamos dos puntos $$\fbox{$(0,2)\quad \mathrm{y} \quad (0,-2)$}$$

  • Si tomamos $y=0$ de la segunda ecuación y lo llevamos a la tercera, tenemos $x^2-4=0$, es decir, $x = \pm 2.$ Ahora vamos a la primera ecuación, que es la única que no hemos utilizado. Cómo no se cumple la condición $x=0$ se tendrá que cumplir $\lambda=-1.$ Así que de aquí sacamos dos puntos $$\fbox{$(2,0)\quad \mathrm{y} \quad (-2,0)$}$$

Añadimos los puntos de intersección de las fronteras (si hace falta)

En este caso, como tenemos una única frontera, la circunferencia, no hay puntos de intersección entre las fronteras.

Consideramos el valor de la función en todos los puntos anteriores y tomamos el máximo y mínimo valor dentro del recinto.

Tenemos por lo tanto 5 puntos candidatos que colocamos en la primera columna. Lo primero es comprobar si cumplen las condiciones:

  • $(0,0)$ ¿Cumple $x^2+y^2\le 4$? Como $0^2+0^2 \le 4$, pertenece al dominio.

  • Y los otros 4 puntos los hemos calculado con la condición de que pertenezcan a la circunferencia, que está incluída en nuestro dominio.

Han pasado el primer filtro los cinco puntos. Ahora, evaluamos la función en estos puntos y nos quedamos con los puntos en los que la función tiene mayor y menor valor.

$$ \begin{array}{|c|c|r|c|c|} \hline \mathrm{Punto} & \mathrm{¿En}\; \mathrm{dominio?} & f(x,y) & \mathrm{Mínimo}& \mathrm{Máximo}\\ \hline (0,0) & \mathrm{Si} & -0 & & \\ (0,2) & \mathrm{Si} & -8 & \mathrm{Si}&\\ (0,-2) & \mathrm{Si} & -8 & \mathrm{Si}&\\ (2,0) & \mathrm{Si} & 4 & & \mathrm{Si}\\ (-2,0) & \mathrm{Si} & 4 & & \mathrm{Si}\\ \hline \end{array} $$

El menor valor es $-8$ y lo alcanza en dos puntos. Por lo tanto tenemos mínimos en (0,2) y (0,-2). Y el mayor valor es $4$ también lo alcanza en dos puntos y por lo tanto los máximo están en (2,0) y (-2,0).

Numéricamente: función de penalización

Buscaremos un mínimo, aunque en este caso tenemos dos. Si utilizamos un método de descenso, dependiendo del punto inicial, llegará a un mínimo u otro.

Para obtener el máximo bastaría cambiar el signo a la función y proceder de forma similar.

La idea del método de penalización es reemplazar la función objetivo $f$ por otra función

$$F(x,y)=f(x,y)+c\,P(x,y)$$

y resolver el problema sin restricciones. Para ello tomamos $c$ como una constante positiva y $P$ satisfaciendo:

  • $P$ es continua en el dominio de $f$.

  • $P(x,y)\geq 0$ para todo punto del domino de $f$, y

  • $P(x,y)=0$ si y solo si el punto $(x,y)$ satisface las restricciones.

Una posible función para aproximar el mínimo con restricciones sería

$$ F(x,y) = f(x,y) + 5 P(x,y) $$

donde

$$ P(x,y)=\begin{cases} 0 & \mathrm{si} & x^2+y^2\le 4\\ x^2+y^2-4 & \mathrm{si} & x^2+y^2\gt 4 \end{cases} $$