Contenidos

• 1  Analíticamente
  • 1.1  Buscamos extremos locales
  • 1.2  Buscamos extremos en las fronteras
  • 1.3  Añadimos los puntos de intersección de las fronteras.
  • 1.4  Consideramos el valor de la función en todos los puntos anteriores, y los puntos para los cuales la función tenga el mayor y menor valor son el máximo y el mínimo.
• 2  Numéricamente: función de penalización

Máximo y mínimo con restricciones de desigualdad. Cálculo simbólico y numérico

Calcular el máximo y el mínimo de la función

$$f(x,y)=x^2-16x+y^2-10y+24$$

sujeta a las restricciones $x+y\leq5\quad x+2y\leq8 \quad x\geq0 \quad \mathrm{y} \quad y\geq0$.

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Analíticamente

El teorema de Weierstrass dice que si $$f: A \in \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$$ es continua en un conjunto compacto, es decir, cerrado y acotado, entonces $f$ alcanza un máximo y un mínimo absolutos en dicho conjunto.

Las condiciones $x\geq0$ y $y\geq0$ quieren decir que la zona a estudiar está en primer cuadrante del plano y por lo tanto el eje $X,$ de ecuación $y=0$ y el eje $Y$ de ecuación $x=0$ son límite de la zona.

Los límites adicionales de la zona

$$ \begin{align} x+y=5\\ x+2y=8 \end{align} $$

Si escribimos las rectas en forma canónica

$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$$

$a$ es el punto de corte de la recta con el eje $X$ y $b$ el punto de corte con el eje $Y$

Si dividimos la primera expresión por 5 y la segunda por 8,

$$ \begin{align} \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{5}=1\\ \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}=1 \end{align} $$

y la representación de ambas rectas es inmediata.

Cada recta divide el plano en tres zonas. Por ejemplo, $x+y=5$ divide el plano en las zonas donde

• $x+y \gt 5$ es un semiplano.
• $x+y = 5$ es la recta.
• $x+y \lt 5$ es el otro semiplano

Para ver cual de las dos zonas es la que contiene, por ejemplo, al punto $(0,0)$ basta probar con este punto y la desigualdad $x+y\le 5$

$$0 + 0 \le 5$$

Por lo tanto $x+y\le 5$ es la zona que comprende la recta y el semiplano por debajo de la recta azul.

Análogamente, probamos con $(0,0)$ y $x+2y \le 8$ y $$0+2(0)\le 8$$ y es el semiplano por debajo de la recta roja.

Y la zona que cumple las dos condiciones es la intersección, que está dibujada en verde.

Plot interactivo

Por lo tanto, considerando las restricciones, estamos buscando un máximo y un mínimo en el primer cuadrante en la zona por debajo de las semirrectas roja y azul que está pintada de verde. Para ello:

1. Buscamos extremos locales.
2. Buscamos extremos en las fronteras.
3. Añadimos los puntos de intersección de las fronteras (si hace falta)
4. Consideramos el valor de la función en todos los puntos anteriores, y el punto para el cual la función tenga el mayor y menor valor y así tendremos los valores máximo y mínimo.

Buscamos posibles extremos locales

La condición necesaria de extremo para un punto $\left(x_{m},y_{m}\right)$ es que $\nabla f\left(x_{m},y_{m}\right)=\left(f^{\prime}_{x},f^{\prime}_{y}\right)=\left(0,0\right)$. Es decir para

$$ f(x,y)=x^2-16x+y^2-10y+24 $$

se tiene que

$$ \begin{cases} f^{\prime}_{x}=0\\ f^{\prime}_{y}=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x-16=0\\ 2y-10=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x=8\\ y=5 \end{cases} $$

Y ya tenemos un punto a considerar (en rojo en el dibujo)

$$\fbox{(8,5)}$$

Buscamos extremos en las fronteras

Función $f(x,y)=x^2-16x+y^2-10y+24$ y restricción $x=0$.

Entonces la función Lagrangiana es $L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$

$$ L(x,y,\lambda)= x^2-16x+y^2-10y+24 +\lambda (x) $$

Calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero

$$ \begin{array}{l} L'_x = 2x -16+\lambda=0\\ L'_y = 2y -10 =0 \\ L'_{\lambda} = x = 0 \end{array} $$

De la segunda ecuación $y = 5$, de la tercera ecuación $x = 0.$ Metiendo estos valores en la primera ecuación $\lambda = 16$

Un posible extremo es el punto (en blanco en el dibujo) $$\fbox{(0,5)}$$

Función $f(x,y)=f(x,y)=x^2-16x+y^2-10y+24$ y restricción $y=0$.

Entonces la función Lagrangiana es $L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$

$$ L(x,y,\lambda)= x^2-16x+y^2-10y+24 +\lambda (y) $$

Calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero

$$ \begin{array}{l} L'_x = 2x -16=0\\ L'_y = 2y -10 +\lambda=0 \\ L'_{\lambda} = y = 0 \end{array} $$

De la primera ecuación $x = 8$, de la tercera ecuación $y = 0.$ Metiendo estos valores en la segunda ecuación $\lambda = 5$

Un posible extremo es el punto $$\fbox{(8,0)}$$

Función $f(x,y)=x^2-16x+y^2-10y+24$ y restricción $x+y=5$.

Entonces la función Lagrangiana es $L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$

$$ L(x,y,\lambda)= x^2-16x+y^2-10y+24 +\lambda (x+y-5) $$

Calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero

$$ \begin{array}{l} L'_x = 2x -16+\lambda=0\\ L'_y = 2y -10+\lambda =0 \\ L'_{\lambda} = x+y-5 = 0 \end{array} $$

De la primera ecuación $x =\dfrac{16-\lambda}{2}$, de la segunda ecuación $y = \dfrac{10-\lambda}{2}.$ Metiendo estos valores en la tercera ecuación

$$\frac{16-\lambda}{2}+\frac{10-\lambda}{2}-5=0 \quad \rightarrow \quad 16-\lambda+10-\lambda=10 \quad \rightarrow \quad \lambda =8$$

Y sustituyendo este valor de $\lambda$ en $x$ e $y$ como $x =\dfrac{16-\lambda}{2}=\dfrac{16-8}{2}=4$ y además $y = \dfrac{10-\lambda}{2}=\dfrac{10-8}{2}=1$ un posible extremo es el punto $$\fbox{(4,1)}$$

Función $f(x,y)=x^2-16x+y^2-10y+24$ y restricción $x+2y=8$.

Entonces la función Lagrangiana es

$$ L(x,y,\lambda)= x^2-16x+y^2-10y+24 +\lambda (x+2y-8) $$

Calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero

$$ \begin{array}{l} L'_x = 2x -16+\lambda=0\\ L'_y = 2y -10+2\lambda =0 \\ L'_{\lambda} = x+2y-8 = 0 \end{array} $$

De la primera ecuación $x =\dfrac{16-\lambda}{2}$, de la segunda ecuación $y = \dfrac{10-2\lambda}{2}.$ Metiendo estos valores en la tercera ecuación

$$\frac{16-\lambda}{2}+2\frac{10-2\lambda}{2}-8=0 \quad \rightarrow \quad 16-\lambda+20-4\lambda=16 \quad \rightarrow \quad \lambda =4$$

Y sustituyendo este valor de $\lambda$ en $x$ e $y$ como $x =\dfrac{16-\lambda}{2}=\dfrac{16-4}{2}=6$ y además $y = \dfrac{10-2\lambda}{2}= \dfrac{10-2(4)}{2}=1$ un posible extremo es el punto $$\fbox{(6,1)}$$

Añadimos los puntos de intersección de las fronteras.

La intersección de las dos fronteras $x+y=5\quad \mathrm{y} \quad x+2y=8$ si restamos la segunda ecuación de la primera tenemos $y=3$ e introduciendo este valor en la primera ecuación $x=2$ y el punto es $$\fbox{(2,3)}$$

Las intersecciones de las rectas con los ejes $$\fbox{(0,4)} \quad \fbox{(5,0)}$$

Y la intersección de los dos ejes es $$\fbox{(0,0)}$$

Consideramos el valor de la función en todos los puntos anteriores y tomamos el máximo y mínimo valor dentro del recinto.

Tenemos por lo tanto 9 puntos candidatos que colocamos en la primera columna. Lo primero es comprobar si cumplen las condiciones:

• $(8,5)$ ¿Cumple $x+y\le 5$? Como $8+5 \gt 5$, no pertenece al dominio.

• $(0,5)$ ¿Cumple $x+2y\le 8$? Como $0+2(5) \gt 8$, no pertenece al dominio.

• $(8,0)$ ¿Cumple $x+y\le 5$? Como $8+0 \gt 5$, no pertenece al dominio.

• $(4,1)$ ¿Cumple $x+y\le 5$? Si, $4+1= 5$. ¿Cumple $x+2y\le 8$? Si, $4+2(1)\lt 8$ Y como ambas coordenadas son positivas, están en el primer cuadrante. Por lo tanto, pertenecen al dominio.

• $(6,1)$ ¿Cumple $x+y\le 5$? Como $6+1 \gt 5$, no pertenece al dominio.

• $(2,3)$ ¿Cumple $x+y\le 5$? Si, $2+3= 5$ ¿Cumple $x+2y\le 8$? Si, $2+2(4)=8$ Y como ambas coordenadas son positivas, están en el primer cuadrante. Por lo tanto, pertenecen al dominio.

• $(0,4)$ ¿Cumple $x+y\le 5$? Si, $0+4\lt 5$ ¿Cumple $x+2y\le 8$? Si, $0+2(4)=8$ Y como ambas coordenadas son positivas, están en el primer cuadrante. Por lo tanto, pertenecen al dominio.

• $(5,0)$ ¿Cumple $x+y\le 5$? Si, $5+0= 5$ ¿Cumple $x+2y\le 8$? Si, $5+2(0)\lt 8$ Y como ambas coordenadas son positivas, están en el primer cuadrante. Por lo tanto, pertenecen al dominio.

• $(0,0)$ ¿Cumple $x+y\le 5$? Si, $0+0 \lt 5$ ¿Cumple $x+2y\le 8$? Si, $0+2(0)\lt 8$ Y como ambas coordenadas son cero, están en el primer cuadrante. Por lo tanto, pertenecen al dominio.

Han pasado el primer filtro cinco puntos. Ahora, evaluamos la función en estos puntos y nos quedamos con los puntos en los que la función tiene mayor y menor valor.

$$ \begin{array}{|c|c|r|c|c|} \hline \mathrm{Punto} & \mathrm{¿En}\; \mathrm{dominio?} & f(x,y) & \mathrm{Mínimo}& \mathrm{Máximo}\\ \hline (8,5) & \mathrm{No} & & & \\ (0,5) & \mathrm{No} & & &\\ (8,0) & \mathrm{No} & & &\\ (4,1) & \mathrm{Si} & -33 & \mathrm{Si} & \\ (6,1) & \mathrm{No} & & &\\ (2,3) & \mathrm{Si} & -25 & & \\ (0,4) & \mathrm{Si} & 0 & &\\ (5,0) & \mathrm{Si} & -31 & &\\ (0,0) & \mathrm{Si} & 24 & &\mathrm{Si}\\ \hline \end{array} $$

El menor valor es $-33$ y por lo tanto el mínimo está en (4,1). Y el mayor valor es $24$ y por lo tanto el máximo está en (0,0).

Numéricamente: función de penalización

Buscaremos el mínimo. Para obtener el máximo bastaría cambiar el signo a la función y proceder de forma similar.

La idea del método de penalización es reemplazar la función objetivo $f$ por otra función

$$F(x,y)=f(x,y)+c_1\,g_1(x,y)+c_2\,g_2(x,y)+c_3\,g_3(x,y)+c_4\,g_4(x,y)$$

y resolver el problema sin restricciones. Para ello tomamos $c_i$ como una constante positiva y $g_i$ satisfaciendo:

• $g_i$ es continua en el dominio de $f$.

• $g_i(x,y)\geq 0$ para todo punto del domino de $f$, y

• $g_i(x,y)=0$ si y solo si el punto $(x,y)$ satisface las restricciones.

Una posible función para aproximar el mínimo con restricciones sería

$$ F(x,y) = f(x,y) + 50 g_1(x,y) + 50 g_2(x,y) + 50 g_3(x,y) + 50 g_4(x,y) $$

donde

$$ g_1(x,y)=\begin{cases} 0 & \mathrm{si} & x+y\le 5\\ (x+y-5)^2 & \mathrm{si} & x+y\gt 5 \end{cases} \qquad g_2(x,y)=\begin{cases} 0 & \mathrm{si} & x+2y\le 8\\ (x+2y-8)^2 & \mathrm{si} & x+2y\gt 8 \end{cases} $$

y

$$ g_3(x,y)=\begin{cases} 0 & \mathrm{si} & x\ge 0\\ x^2 & \mathrm{si} & x\lt 0 \end{cases} \qquad g_4(x,y)=\begin{cases} 0 & \mathrm{si} & y\ge 0\\ y^2 & \mathrm{si} & y\lt 0 \end{cases} $$