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Ejercicio

Extremo de función lineal con constricciones lineales. El problema del transporte

Dos fábricas de cemento, $F_{1}$ y $F_{2}$, producen respectivamente 3000 y 4000 sacos de cemento al día. Hay que enviar ese cemento a tres centros de ventas $C_{1}$, $C_{2}$ y $C_{3}$ en cantidades de 3000, 2500 y 1500 sacos, respectivamente. Los costes de transporte de cada fábrica a los puntos de venta vienen dados, en euros por cada saco,

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mathbf{Costes}\;\mathbf{por}\;\mathbf{unidad} & \mathrm{Hasta}\; C_{1} & \mathrm{Hasta}\; C_{2} & \mathrm{Hasta} \;C_3\\ \hline \hline \mathrm{Desde}\; F_{1} & 2 & 2.5 & 2\\ \hline \mathrm{Desde} \;F_{2} & 1.5 & 4 & 1\\ \hline \end{array} $$

Determinar cómo hay que distribuir la producción para que el transporte resulte lo más económico posible.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{Unidades} & \mathrm{Hasta}\; C_{1} & \mathrm{Hasta}\; C_{2} & \mathrm{Hasta} \;C_3 & \Sigma\\ \hline \mathrm{Desde}\; F_{1} & {\color{red}{x}} & {\color{red}{y}} & {\color{red}{3000-x-y}} & 3000\\ \mathrm{Desde} \;F_{2} & {\color{red}{3000-x}} & {\color{red}{2500-y}} & {\color{red}{x+y-1500}} & 4000\\ \hline \Sigma & 3000 & 2500 & 1500 & 7000\\ \hline \end{array} $$

Asumimos $x$ unidades a trasportar desde $F_1$ hasta $C_1$ e $y$ unidades a trasportar desde $F_1$ hasta $C_2.$ Todas las demás las deducimos teniendo en cuenta $x$ e $y$ y las unidades totales a enviar desde las fábricas y a recibir en los centros de venta.

Coste

Obtenemos el coste para cada uno de los 6 itinerarios multiplicando el número de unidades (tabla 2) por el coste por unidad (tabla 1) para ese caso. Sumando los 6 casos distintos tenemos el coste total.

$$ C = 2 x +2.5 y +2(3000-x-y)+1.5(3000-x)+4(2500-y)+1(x+y-1500) $$

Que simplificando, queda

$$ C=19000-0.5x-2.5y $$

Restricciones

Las restricciones son que el número de número de unidades transportadas de cada fábrica a cada centro han de ser cantidades positivas. Como hay 6 canales de distribución tenemos 6 restriciones

\begin{array}{c} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 3000-x-y \ge 0 \\ 3000-x \ge 0 \\ 2500-y \ge 0 \\ x+y-1500 \ge 0 \end{array}

Problema

Minimizar $$C=19000-0.5x-2.5y$$

con las restriciones (reordenamos las condiciones anteriores)

$$ \begin{array}{c} x+y \le 3000 \\ x \le 3000 \\ y \le 2500 \\ x+y \ge 1500 \\ \\ x,y \ge 0 \end{array} $$

Las condiciones $x\geq 0$ e $y\geq 0$ significan que la región del plano que describen las condiciones está en el primer cuadrante.

La condición $x \le 3000$ significa que $x$ ha de estar a la izquierda de la recta vertical $r_1$ que pasa por $3000$ y $y \le 2500$ significa que $y$ ha de estar por debajo de la recta horizontal $r_2$ que pasa por $2500$

Dibujamos las demás fronteras de la región donde ha de encontrarse la solución. Tenemos dos rectas $r_3$ y $r_4$

\begin{array}{ll} r_{3}\qquad x+y=3000\qquad\rightarrow\qquad & \dfrac{x}{3000}+\dfrac{y}{3000}=1\\ \\ r_{4}\qquad x+y=1500\qquad\rightarrow\qquad & \dfrac{x}{1500}+\dfrac{y}{1500}=1 \end{array}

y entonces $r_{3}$ corta al eje $OX$ en $x=3000$ y al eje $OY$ en $y=3000$. Análogamente $r_{4}$ corta al eje $OX$ en $x=1500$ y al eje $OY$ en $y=1500$.

Cada una de estas rectas divide el plano en dos regiones, una que verifica la condición y otra que no. Basta por lo tanto con probar con un punto y si este punto cumple la condición, la región del plano donde se encuentra este punto es pertenece a la región.

Por simplicidad, probamos con el origen $\left(0,0\right)$

  • El origen cumple la condición $x+y\le 3000$ porque $0+0\le 3000$. Por lo tanto, la zona que cumple esta condición es la que está por debajo de la recta azul.
  • El origen no cumple las codiciones $x+y\gt 1500$, por lo tanto, la región es la que está por encima de la recta $r_4$ (roja).

Además, habíamos dicho que

  • La condición $x \le 3000$ significa que $x$ ha de estar a la izquierda de la recta vertical $r_1$ que pasa por $3000$
  • $y \le 2500$ significa que $y$ ha de estar por debajo de la recta horizontal $r_2$ que pasa por $2500$

Así que la región es la intersección de las tres regiones (rosa, azul y verde) y es la región representada en amarillo, que recordamos, está en el primer cuadrante porque además $x\ge 0$ y $y\ge 0.$

El máximo estará en uno de los vértices (o de los lados) del polígono que rodea al área. Así que necesitamos calcular los vértices.

  • $A$ la intersección de $x+y=1500$ con el eje $OX$, es decir, con $y=0$. Por lo tanto $A=(1500,0).$
  • $B$ es el corte de la recta $y=2500$ con el eje $0Y$, que es $x=0$. Por lo tanto $B=(0,2500)$
  • $C$ es la intersección de $y=2500$ con $x=0$. $C=(0,2500).$
  • $D$ es la intersección de $x+y=3000$ con $y=2500$. Como $x = 3000-2500$, se tiene $D=(500,2500).$
  • $E$ es el corte de la recta $x+y=3000$ con $y=0$ (eje $OX$), y $x= 3000$. Por lo tanto $E=(3000,0).$

Calculamos en estos vértices el valor de la función $ C=19000-0.5x-2.5y $

\begin{array}{cccc} \hline \mathrm{Vértice} & x & y & C\\ \hline A & 1500 & 0 & 18250\\ B & 0 & 1500 & 16750\\ C & 0 & 2500 & 15250\\ {\color{red}D} & {\color{red}{500}} & {\color{red}{2500}} & {\color{red}{15000}}\\ E & 3000 & 0 & 17500\\ \hline \end{array}

Y el mínimo está en el punto $D$ donde $x=500$ e $y=2500$, porque la función toma el mínimo valor. Así que la solución del problema la tendríamos sustituyendo en la tabla

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{Unidades} & \mathrm{Hasta}\; C_{1} & \mathrm{Hasta}\; C_{2} & \mathrm{Hasta} \;C_3 & \Sigma\\ \hline \mathrm{Desde}\; F_{1} & {\color{red}{x}} & {\color{red}{y}} & {\color{red}{3000-x-y}} & 3000\\ \mathrm{Desde} \;F_{2} & {\color{red}{3000-x}} & {\color{red}{2500-y}} & {\color{red}{x+y-1500}} & 4000\\ \hline \Sigma & 3000 & 2500 & 1500 & 7000\\ \hline \end{array} $$

los valores $x=500$ e $y=2500$

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{Unidades} & \mathrm{Hasta}\; C_{1} & \mathrm{Hasta}\; C_{2} & \mathrm{Hasta} \;C_3 & \Sigma\\ \hline \mathrm{Desde}\; F_{1} & {\color{red}{500}} & {\color{red}{2500}} & {\color{red}{3000-500-2500}} & 3000\\ \mathrm{Desde} \;F_{2} & {\color{red}{3000-500}} & {\color{red}{2500-2500}} & {\color{red}{500+2500-1500}} & 4000\\ \hline \Sigma & 3000 & 2500 & 1500 & 7000\\ \hline \end{array} $$

Por lo tanto, la solución es

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{Unidades} & \mathrm{Hasta}\; C_{1} & \mathrm{Hasta}\; C_{2} & \mathrm{Hasta} \;C_3 & \Sigma\\ \hline \mathrm{Desde}\; F_{1} & {\color{red}{500}} & {\color{red}{2500}} & {\color{red}{0}} & 3000\\ \mathrm{Desde} \;F_{2} & {\color{red}{2500}} & {\color{red}{0}} & {\color{red}{1500}} & 4000\\ \hline \Sigma & 3000 & 2500 & 1500 & 7000\\ \hline \end{array} $$

Como se puede ver, estamos evitando transportes a precios altos para llevar cemento a $C_2$ y $C_3$ y lo compensamos distribuyendo el transporte hasta $C_1$ donde los precios son más parecidos

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mathbf{Costes}\;\mathbf{por}\;\mathbf{unidad} & \mathrm{Hasta}\; C_{1} & \mathrm{Hasta}\; C_{2} & \mathrm{Hasta} \;C_3\\ \hline \hline \mathrm{Desde}\; F_{1} & 2 & 2.5 & 2\\ \hline \mathrm{Desde} \;F_{2} & 1.5 & 4 & 1\\ \hline \end{array} $$