Contenido

• 1  El método de punto fijo
  • 1.1  Algoritmo
  • 1.2  Convergencia
• 2  Ejercicio
  • 2.1  Demostrar que la ecuación $f(x)=0$ tiene la misma raíz que $g_{i}(x)=x$ con $i=1,2,3$
  • 2.2  Estudiar gráficamente si se cumplen las condiciones del teorema de la aplicación contractiva en el intervalo $\left[0,1\right]$
  • 2.3  Realizar nueve iteraciones con cada una de las funciones de iteración utilizando como punto inicial $x_{0}=0.5$
  • 2.4  ¿Qué funciones pueden usarse? ¿Qué función de iteración debería usarse?

El método de punto fijo

Decimos que $\alpha$ es un punto fijo de $g$ si

$$g(\alpha)=\alpha$$

Como cualquier ecuación $f(x)=0$ puede ser reescrita como $g(x)=x$, por ejemplo, $g(x)=f(x)+x$, resolver la primera ecuación es equivalente a encontrar un punto fijo de la segunda función.

Por ejemplo, sea $f(x)=\cos(x)-x$ y buscamos las raíces de $f$ tal que $$\cos(x)-x=0.$$ Podemos reorganizar la ecuación como $$\cos(x)=x.$$

La solución de esta segunda ecuación, también llamada punto fijo de la función

$$ g(x) =\cos(x)$$

será también una raíz de $f$.

Una vez tenemos la función $g$ el procedimiento para calcular el punto fijo es:

• Tomamos un $x_0$
• Iteración 1: $x_1=g(x_0)$
• Iteración 2: $x_2=g(x_1)$
• Iteración 3: $x_3=g(x_2)$
• $\dots$

Algoritmo

• Sea $x_0$ un punto inicial.
• Para $k=1,2,\ldots,\mathrm{MaxNumIter}$:

  • Calcular $x_k=g(x_{k-1})$
  • Si $x_k$ satisface el criterio de parada, parar.
  • En el caso contrario, hacer otra iteración.

Por ejemplo, si para $g(x)=\cos(x)$ tomamos $x_0=1$ (¡Ojo! Las unidades de ángulos en matemáticas y en física son los radianes):

• Iteración 1: $x_1=\cos(1)=0.54$
• Iteración 2: $x_2=\cos(0.54)=0.86$
• Iteración 3: $x_3=\cos(0.86)=0.65$
• $\dots$

Once Loop Reflect

Gráficamente la sucesión se construye:

• Dibujamos la curva $g$ (en rojo en la figura).
• Dibujamos la recta $y=x$ (en negro en la figura). Estamos buscando el punto fijo $g(x)=x,$ es decir, la intersección de la curva con la recta.
• Obtenemos el punto $(x_0,f(x_0))$ sobre la curva.
• Trazamos la línea horizontal hasta la recta $y = x.$ Como está a la misma altura que el punto de la curva, la altura del punto sobre la recta, es decir, la coordenada $y$ es igual a $x_1=f(x_0).$ Como para los puntos de la recta $y=x,$ la coordenada $x$ es la misma, es decir, $x_1.$
• Trazamos la línea vertical hasta la curva y obtenemos el punto $(x_1,f(x_1))$ sobre la curva.
• Trazamos la línea horizontal hasta la recta $y = x.$ Como está a la misma altura que el punto de la curva, la altura del punto sobre la recta, es decir, la coordenada $y$ es igual a $x_2=f(x_1).$ Como para los puntos de la recta $y=x,$ la coordenada $x$ es la misma, es decir, $x_2.$
• Y seguimos así, curva, recta, curva, recta, $\ldots$

Convergencia

El Teorema de la aplicación contractiva dice: sea $g$ derivable definida en el intervalo $[a,b] \subset \mathbb{R} $ y $x_0 \in [a,b]$ un punto del intervalo. Supongamos que

• $x \in [a,b] \quad \Rightarrow \quad g(x)\in [a,b]$
• $\left|g'(x)\right|\le k\lt 1$ para todo $x\in [a,b]$

Entonces $g$ tiene un único punto fijo $\alpha \in [a,b]$, y la sucesión $x_n$ definida como $x_{i+1}=g(x_i)$ que tiene como punto inicial $x_0$ converge a $\alpha$ con orden al menos lineal.

Veamos si se verifican estas condiciones para la función $g(x)=\cos x$ en el intervalo $[0,1]$

Gráficamente

• Si nos fijamos en el eje OY, vemos que la gráfica de $g$ siempre está contenida entre 0 y 1. Por lo tanto se cumple la primera condición.
• La pendiente de la curva es siempre menor que 1 en valor absoluto en en intervalo $[0,1].$ La referencia son las diagonales: si la curva es menos pendiente (es más planas o está más tumbada) que la diagonal correspondiente (en este caso la negra, que tiene pendiente $-1$), cumple la segunda condición.

Analíticamente

• Como

  • $\cos(x)$ es decreciente en $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$
  • $[0,1]\subset\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]=\left[0,1.57\right]$
  • entonces el $\cos(x)$ es decreciente en $[0,1]$

  • y tendrá su máximo en $0$ y su mínimo en $1$, es decir

    $$\cos(1)\le \cos(x) \le \cos(0)$$

que es

$$0.54\le \cos(x) \le 1$$

y por lo tanto

$$\mathrm{Si}\quad x\in[0,1]\quad \Longrightarrow\quad \cos(x)\in [0.54,1]\subset[0,1]$$

• $g'(x)=-\mathrm{sen}(x)$

  • y $\left|g'(x)\right|=\mathrm{sen}(x)$ en $[0,1].$
  • Como el $\mathrm{sen}(x)$ es creciente en $[0,1]$

  • tendrá su máximo en $1$ y su mínimo en $0$, es decir

    $$\mathrm{sen}(0)\le \mathrm{sen}(x) \le \mathrm{sen}(1)$$

que es $$0\le \mathrm{sen}(x) \le 0.84$$ y por lo tanto

$$\left|g'(x)\right|\le 0.84\lt 1 \;\mathrm{para}\; \mathrm{todo}\; x\in [0,1]$$

Como se cumplen las condiciones del teorema de la aplicación contractiva podemos escoger cualquier punto del intervalo $[0,1]$ como valor $x_0$ y está garantizado que la sucesión generada con la función de iteración $g$ converja.

Existen cuatro posibles casos:

Once Loop Reflect

Once Loop Reflect

Once Loop Reflect

Once Loop Reflect

Ventajas

• El método de punto fijo es muy sencillo de implementar.
• Permite un estudio teórico sistematizado de la convergencia.
• Es un conjunto de métodos: por ejemplo, Newton-Raphson es un método de punto fijo donde $g(x)=x-f(x)/f'(x).$
• Se pueden construir métodos de punto fijo del orden de convergencia deseado.

Inconvenientes

• Métodos con órdenes de convergencia altos requieren la existencia y buen comportamiento de las derivadas de $g$.
• Si no usamos las derivadas el orden de convergencia lineal y converge lentamente.

Ejercicio

Para calcular las raíces de $f(x)=x+\ln(x)$ por el método de punto fijo se definen las siguientes funciones de iteración.

$$(i)~g_{1}(x)=-\ln(x),\quad(ii)~g_{2}(x)=\text{e}^{-x},\quad(iii)~g_{3}(x)=\frac{x+\text{e}^{-x}}{2}$$

• Demostrar que la ecuación $f(x)=0$ tiene la misma raíz que $g_{i}(x)=x$ con $i=1,2,3.$
• Estudiar gráficamente si se cumplen las condiciones del teorema de la aplicación contractiva en el intervalo $\left[0,1\right]$
• Realizar nueve iteraciones con cada uno de las funciones de iteración utilizando como punto inicial $x_{0}=0.5$
• ¿Qué funciones pueden usarse? ¿Qué función de iteración debería usarse?

Demostrar que la ecuación $f(x)=0$ tiene la misma raíz que $g_{i}(x)=x$ con $i=1,2,3$

Comprobemos que la raíz de la ecuación es punto fijo de las funciones que se definen a partir de las ecuaciones equivalentes. Es decir

$$f(x)=0\quad \Longleftrightarrow \quad g(x)=x$$

Empecemos por la función de iteración

• $g_1(x)=-\ln x\\ x=-\ln x \Longleftrightarrow x+\ln x=0 \Longleftrightarrow f(x)=0 \;\mathrm{con}\; f(x)=x+\ln x$

• $g_2(x)=e^{-x} \\ x=e^{-x} \Longleftrightarrow \ln x=\ln e^{-x} \Longleftrightarrow \ln x=-x \Longleftrightarrow \ln x+x=0 \Longleftrightarrow f(x)=0 \;\mathrm{con}\; f(x)=x+\ln x$

• $g_3(x)=\dfrac{x+e^{-x}}{2} \\ x=\dfrac{x+e^{-x}}{2} \Longleftrightarrow 2x=x+e^{-x} \Longleftrightarrow x=e^{-x} \Longleftrightarrow f(x)=0 \;\mathrm{con}\; f(x)=x+\ln x$

Estudiar gráficamente si se cumplen las condiciones del teorema de la aplicación contractiva en el intervalo $\left[0,1\right]$

El Teorema de la aplicación contractiva dice: sea $g$ derivable definida en el intervalo $\left[a,b\right] \subset \mathbb{R}$ y $x_0 \in \left[a,b\right]$ un punto del intervalo. Supongamos que

1. $x \in [a,b] \quad \Rightarrow \quad g(x)\in [a,b]$
2. $\left|g'(x)\right|\le k\lt 1$ para todo $x\in [a,b]$

Entonces $g$ tiene un único punto fijo $\alpha \in [a,b]$, y la sucesión $x_n$ definida como $x_{i+1}=g(x_i)$ que tiene como punto inicial $x_0$ converge a $\alpha$ con orden al menos lineal.

Viendo las gráficas:

• $g_1$ no cumple la condición 2 (del teorema de la aplicación contractiva) en ningún punto.
• $g_2$ cumple la condición 2 excepto quizá en $0$ por lo que habría que tomar otro intervalo más reducido.
• $g_3$ cumple las dos condiciones para el intervalo $[0,1]$ y además vemos que es la función con la menor derivada (la más horizontal).

Realizar nueve iteraciones con cada una de las funciones de iteración utilizando como punto inicial $x_{0}=0.5$

Por ejemplo, si para $g_1(x)=-\ln(x)$ tomamos $x_0=0.5$:

• Iteración 1: $x_1=-\ln(0.5)=0.693147$
• Iteración 2: $x_2=-\ln(0.693147)=0.366513$
• Iteración 3: $x_3=-\ln(0.366513)=1.003722$
• $\dots$

Para las demás funciones

\begin{array}{|c|ccc|} \hline k & g_1 & g_2 & g_3\\ \hline 0 & 0.500000 & 0.500000 & 0.500000\\ 1 & 0.693147 & 0.606531 & 0.553265\\ 2 & 0.366513 & 0.545239 & 0.564167\\ 3 & 1.003722 & 0.579703 & 0.566500\\ 4 & -0.003715 & 0.560065 & 0.567004\\ 5 & \mathtt{NaN} & 0.571172 & 0.567113\\ 6 & \mathtt{NaN}& 0.564863 & 0.567137\\ 7 & \mathtt{NaN}& 0.568438 & 0.567142\\ 8 & \mathtt{NaN}& 0.566409 & 0.567143\\ 9 & \mathtt{NaN}& 0.567560 & 0.567143\\ \hline \end{array}

Vemos que, con la función $g_1,$ como no está definida para valores negativos, a partir de cierto punto, la sucesión no está definida.

Podemos asumir que, si una serie de decimales se repiten en iteraciones sucesivas, son los correctos. Así, las sucesiones generadas con $g_2$ y $g_3$ convergen, pero converge más rápido la sucesión con $g_3$, porque podemos asumir que como para $0.567143$ se repiten los 6 decimales en las dos últimas iteraciones, esta es la solución correcta para 6 decimales. Sin embargo, para la sucesión generada con $g_2,$ en la iteración 9, se repiten solamente dos decimales con la iteración anterior.

Once Loop Reflect

Once Loop Reflect

Once Loop Reflect

¿Qué funciones pueden usarse? ¿Qué función de iteración debería usarse?

Teniendo en cuenta los resultados anteriores, podemos usar $g_2$ y $g_3.$ La función $g_1$ no cumple las condiciones de convergencia y la sucesión generada por ella no converge.

La mejor función de iteración es la de derivada más baja en el intervalo porque converge más rapidamente, es decir, $g_3.$