Ejercicio¶
Dada la integral
$$ I=\int_{0}^{3}(x^{3}+1)\,dx $$- Aproximar su valor mediante la regla del trapecio simple.
- Aproximar su valor mediante la regla de Simpson simple.
- Comparar los valores aproximados con el valor exacto ¿Se podría haber predicho alguno de los errores?
- Al utilizar la regla del trapecio compuesta para aproximar $I$ ¿qué número de subintervalos será suficiente para que el error sea menor que $10^{-6}$?
La integral exacta es
$$ I = \int_{0}^{3}\left(x^3+1\right)\,dx=\left[ \frac{x^4}{4}+x\right]_0^3=\frac{3^4}{4}+3=23.25 $$Regla del trapecio¶
La fórmula de los trapecios simple es
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\left( f\left( a\right) +f\left( b\right) \right)$$Aplicamos la fórmula $$\int_{0}^{3}f(x)dx\approx \frac{3-0}{2}\left( f\left( 0\right) +f\left( 3\right) \right)=\frac{3}{2}\left( \left( 0^3+1\right) +\left( 3^3+1\right) \right)=\frac{3}{2}\times 29=43.5$$
El error absoluto es
$$e_a = \left|I-I_{trap}\right| = \left|23.25-43.5\right|= 20.25$$
Regla de Simpson¶
La fórmula de Simpson simple es
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}\left( f\left( a\right) +4f\left( \frac{a+b}{2}\right) +f\left( b\right) \right)$$$$\int_{0}^{3}f(x)dx\approx \frac{3-0}{6}\left( f\left(0\right) +4f\left( 1.5\right) +f\left( 3\right) \right)=$$. $$ =\frac{3}{6}\left( \left( 0^3+1\right) +4\left( 1.5^3+1\right) +\left( 3^3+1\right) \right)=23.25$$
El error absoluto es
$$e_a = \left|I-I_{Simp}\right| = \left|23.25-23.25\right|= 0$$
Error¶
Se podía haber previsto que el error sería cero usando la fórmula de Simpson porque esta fórmula es de precisión 3 y por tanto exacta para polinomios de grado 3.
Número de intervalos¶
FÓRMULA DEL ERROR DE LA REGLA DE LOS TRAPECIOS¶
Simple¶
El error de la regla del trapecio simple es $$ E^T = -f^{\prime\prime}(c_o) \frac{(b-a)^3}{12} \quad c_o \in (a,b)$$
Compuesta¶
Si subdividimos $[a,b]$ en $n$ subintervalos iguales de longitud
$$h=\frac{b-a}{n} \quad (1)$$y aplicamos la regla del trapecio simple en cada uno de ellos, el error será la suma de los errores para cada uno de estos $n$ subintervalos
$$E_h^T = -f^{\prime\prime}(c_1) \frac{h^3}{12}-f^{\prime\prime}(c_2) \frac{h^3}{12}-\dots -f^{\prime\prime}(c_n) \frac{h^3}{12} $$sacando factor común
$$E_h^T = -\frac{h^3}{12}\left(f^{\prime\prime}(c_1) +f^{\prime\prime}(c_2) +\dots +f^{\prime\prime}(c_n) \right) $$multiplicando y dividiendo por $n$
$$E_h^T = -\frac{n\,h^3}{12}\frac{f^{\prime\prime}(c_1) +f^{\prime\prime}(c_2) +\dots +f^{\prime\prime}(c_n)}{n} $$Del teorema del valor intermedio se puede deducir que exite un valor de $c\in(a,b)$ de forma que $f^{\prime\prime}(c)$ es igual este promedio que aparece en la fórmula anterior. Entonces
$$E_h^T = -\frac{n\,h^3}{12}f^{\prime\prime}(c) $$y como, por (1), $nh = b-a$ la fórmula queda
$$E_h^T = - \frac{h^2}{12} (b-a)f^{\prime\prime}(c)$$Aproximar $$I=\int_{0}^{3}(x^{3}+1)dx$$ con la regla del Trapecio compuesta con error menor que $10^{-6}$
Si tomamos el error en valor absoluto
$$E_h^T =\frac{h^2}{12} (b-a)\left|f^{\prime\prime}(c)\right|$$Si hacemos
$$\frac{h^2}{12} (b-a)\left|f^{\prime\prime}(c)\right| \lt 10^{-6}$$entonces se verificará que
$$E_h^T \lt 10^{-6}$$Si $f(x) = x^3+ 1$ y $[a,b]=[0,3]$ entonces
$$f^{\prime}(x)= 3x^2 \quad \quad \mathrm{y} \quad \quad f^{\prime\prime}(x)= 6x$$Y se tiene que
$$\left|\;f^{\prime\prime}(c)\right| = 6 c \lt 6 (3) = 18 \quad c\in (0,3)$$Por lo tanto, el error en valor absoluto es
$$ E_h^T = \left|\;f^{\prime\prime}(c)\right| (b-a)\frac{h^2}{12}\lt \frac{18}{12}(b-a)h^2 = \frac{3}{2} (3-0) h^2 \lt 10^{-6}$$Es decir
$$ \frac{9}{2} h^2 \lt 10^{-6}$$Como $$ h =\frac{b-a}{n}=\frac{3}{n} $$ se tiene $$ \frac{9}{2}\left(\frac{3}{n}\right)^2 \lt 10^{-6}$$
o
$$ \frac{81}{2n^2} \lt 10^{-6}$$y entonces como
$$a\lt b, 0 \lt c \Longrightarrow ac \lt bc$$multiplicando ambos miembros de la desigualdad por $n^2$ y $10^6$ tenemos
$$\frac{81}{2}10^6 \lt n^2 $$Y teniendo en cuenta que si tenemos una función $h$ creciente
$x_1 \lt x_2 \Longrightarrow h(x_1) \lt h(x_2)$ y como la función $h(x)= \sqrt{x}$ es creciente
se tiene que
$$\sqrt{\frac{81}{2}10^6} \lt n $$o lo que es lo mismo
$$ 6363.96\lt n $$Y tomando $n = 6364$ podemos garantizar que el error es menor que $10^{-6}.$
De hecho, haciendo un programa que aproxime esta integral con la regla del trapecio compuesta y 6364 subintervalos los resultados han sido:
- El valor aproximado es $23.250000499993877$
- El valor exacto es $23.25$
- El error es $5 \times 10^{-7} = 0.5 \times 10^{-6} \lt 10^{-6} $