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Ejercicio

Extremo de función lineal con restricciones lineales

Maximizar la función $f(x,y)=2.5x +3y$ con las restricciones

$$ \left\{ \begin{array}{cc} 3x+6y & \leq90,\\ 2x+y & \leq35,\\ x+y & \leq20,\\ x,y & \geq0. \end{array}\right. $$

Las condiciones $x\geq 0$ e $y\geq 0$ significan que la región del plano que describen las condiciones está en el primer cuadrante. Dibujamos las demás fronteras de la región donde ha de encontrarse la solución. Tenemos tres rectas, $r_{1}$, $r_{2}$ y $r_{3}$.

\begin{array}{lll} r_{1}\qquad 3x+6y=90\qquad\rightarrow\qquad & \dfrac{3x}{90}+\dfrac{6y}{90}=1\qquad\rightarrow\qquad & \dfrac{x}{30}+\dfrac{y}{15}=1\\ \\ r_{2}\qquad 2x+y=35\qquad\rightarrow\qquad & \dfrac{2x}{35}+\dfrac{y}{35}=1\qquad\rightarrow\qquad & \dfrac{x}{17.5}+\dfrac{y}{35}=1\\ \\ r_{3}\qquad x+y=20\qquad\rightarrow\qquad & \dfrac{x}{20}+\dfrac{y}{20}=1 & \end{array}

y entonces $r_{1}$ corta al eje $OX$ en $x=30$ y al eje $OY$ en $y=15$. Análogamente $r_{2}$ corta al eje $OX$ en $x=17.5$ y al eje $OY$ en $y=35$. Y $r_{3}$ corta al eje $OX$ en $x=20$ y al eje $OY$ en $y=20.$

Cada una de estas rectas divide el plano en dos regiones, una que verifica la condición y otra que no. Basta por lo tanto con probar con un punto y si este punto cumple la condición, la región del plano donde se encuentra este punto es pertenece a la región.

Por simplicidad, probamos con el origen $\left(0,0\right)$

  • El origen cumple la condición $3x+6y\le 90$ porque $3(0)+6(0)\le 90$. Pero no cumple la condición $3x+6y\geq 90$ porque $3(0)+6(0)\geq 90.$
  • El origen también cumple las codiciones $2x+y\le 35$ y $x+y\le 20.$

Así que la región es la intersección de las tres regiones bajo las rectas y es la región representada en amarillo, que recordamos, está en el primer cuadrante porque además $x\ge 0$ y $y\ge 0.$

En cuanto a la función, como es lineal, para funciones de dos variables, su representación como superficie es un plano y sus isolíneas o curvas de nivel son rectas, como se puede ver en el siguiente gráfico.

El máximo estará en uno de los vértices (o de los lados) del polígono que rodea al área. Así que necesitamos calcular los vértices.

  • $A$ es el origen y $A=(0,0).$
  • $B$ es el corte de la recta $r_1$ con el eje $Y$. Por lo tanto $B=(0,15)$
  • $C$ es la intersección de $3x+6y=90$ con $x+y=20$. Si $x=20-y$ entonces $3(20-y)+6y=90$ y entonces $60+3y=90$ y $C=(10,10).$
  • $D$ es la intersección de $x+y=20$ con $2x+y=35$. Si $x=20-y$ entonces $2(20-y)+y=35$ y entonces $40-y=35$ y $D=(15,5).$
  • $E$ es el corte de la recta $r_2$ con el eje $X$. Por lo tanto $E=(17.5,0).$

Calculamos el valor de la función $f(x,y)=2.5x +3y$ en estos puntos

\begin{array}{cccc} \hline \mathrm{Vértice} & x & y & f(x,y)\\ \hline A & 0 & 0 & 0\\ B & 0 & 15 & 45\\ {\color{red}C} & {\color{red}{10}} & {\color{red}{10}} & {\color{red}{55}}\\ D & 15 & 5 & 52.5\\ E & 17.5 & 0 & 43.75\\ \hline \end{array}

Y el máximo está en el punto $C$, porque la función toma el máximo valor.