Visto que el problema es reducible a un problema unidimensional y que la fuerza gravitatoria del anunciado usa el sistema de ejes estándar podemos escribir la ecuación de movimiento como \begin{equation} m\ \ddot{z}\; =\; mg \ -\ \kappa\ \dot{z} \; , \end{equation} donde $z\equiv -x_{3}$. Dicho de otra forma, tomamos la dirección $z$ apuntando para abajo.
La ecuación de movimiento no depende de $z$ con lo cual es conveniente expresarla en términos de la velocidad $v\equiv \dot{z}$: \begin{equation} m\ \dot{v}\; =\; mg\ -\ \kappa\ v \; . \end{equation} Cuando la partícula haya alcanzado la velocidad maxima, $v_{max}$, ya no acelera mas, con lo cual la velocidad maxima viene caracterizado por \begin{equation} \left.\dot{v}\right|_{v_{max}}\ =\ 0 \; . \end{equation} Usando esta ecuación en la de movimiento vemos que \begin{equation} v_{max}\; =\; \frac{mg}{\kappa} \; . \end{equation} Usando $[g]=\mathrm{m}\ \mathrm{s}^{-2}$ podemos comprobar que el resultado concuerda con las dimensiones.